$\text{1.1.}$  

Wiemy, że tarcza w czasie przyspieszenia wykonała $n=25$  obrotów. Jeden obrót odpowiada kątowi $2\pi$ . Zatem całkowity kąt zakreślony przez tarczę wynosi:

$\alpha =2\pi n$  

Tarcza porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez szybkości początkowej, czyli kąt przez nią zakreślany możemy wyrazić wzorem:

$\alpha =\frac{1}{2}\epsilon t^2$  

gdzie $\epsilon$  jest przyspieszeniem kątowym tarczy, $t$  jest czasem przyspieszania. Wiemy, że:

$t=10\text{s}$  

Wówczas przyspieszenie kątowe tarczy możemy wyrazić wzorem:

$\frac{1}{2}\epsilon t^2=\alpha \mid \cdot 2$  

$\epsilon t^2=2\alpha \mid :t^2$  

$\epsilon =\frac{2\alpha }{t^2}$  

$\epsilon =\frac{2\cdot 2\pi n}{t^2}$  

$\epsilon =\frac{4n\pi }{t^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\epsilon =\frac{4\cdot 25\cdot \pi }{{\left(10\text{s}\right)}^2}=\frac{100\cdot \pi }{100{\text{s}}^2}=\pi \frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}$  

 Odpowiedź: 

$\text{B. }\pi \frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}$  

 

$\text{1.2.}$  

Wiemy, że w czasie pierwszych 10 sekund tarcza porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym aż do osiągnięcia szybkości kątowej, którą wyrazimy wzorem:

$\omega =\epsilon t$  

$\omega =\pi \frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}\cdot 10\text{s}=10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

Zatem od $0\text{s}$  do $10\text{s}$  szybkość kątowa wzrasta liniowo od $0\frac{\text{rad}}{\text{s}}$  do $10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}$ . 

Od $10\text{s}$  do $10\text{s}+40\text{s}=50\text{s}$  szybkość kątowa jest stała i wynosi  $10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}$ . 

Od $50\text{s}$  do $50\text{s}+20\text{s}=70\text{s}$  szybkość kątowa maleje liniowo od $10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}$  do $0\frac{\text{rad}}{\text{s}}$ . 

Wykonajmy wykres zależności szybkością kątowej tarczy od czasu:

 

$\text{1.3.}$  

Średnią szybkość kątową obliczymy jako iloraz całkowitego kąta zakreślonego przez tarczę w ciągu całego ruchu:

${\omega }_{\text{sˊr}}=\frac{\alpha }{t}$  

Zauważmy, że czas ruchu tarczy wynosi:

$t=70\text{s}$  

Całkowity kąt zakreślony przez tarczę możemy obliczyć jako pole pod wykresem zależności szybkości kątowej od czasu. Zauważmy, że jest to trapez o podstawach: 

$a=70\text{s}$  

$b=50\text{s}-10\text{s}=40\text{s}$  

Oraz wysokości:

$h=10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

Zatem kąt zakreślony przez tarczę w ciągu całego ruchu wynosi:

$\alpha =\frac{1}{2}\left(a+b\right)h$  

$\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left(70\text{s}+40\text{s}\right)\cdot 10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

$\alpha =\frac{1}{2}\cdot 110\text{s}\cdot 10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

$\alpha =550\pi \text{rad}$  

Zatem średnia szybkość kątowa wynosi zatem:

${\omega }_{\text{sˊr}}=\frac{550\pi \text{rad}}{70\text{s}}\approx 8\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}=8\cdot 3,14\frac{\text{rad}}{\text{s}}\approx 25\frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

 

$\text{1.4.}$  

 Uzasadnienie:  

W ruchu jednostajnie przyspieszonym wartość przyspieszenia tej tarczy wynosi:

${\epsilon }_1=\frac{10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}}{10\text{s}}=\pi \frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}$  

W ruchu jednostajnie opóźnionym wartość opóźnienia kątowego wynosi:

${\epsilon }_2=\frac{10\pi \frac{\text{rad}}{\text{s}}}{20\text{s}}=0,5\pi \frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}$  

Z tego wynika, że:

$\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}=\frac{\pi \frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}}{0,5\pi \frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}}=2$  

Wówczas:

${\epsilon }_1=2{\epsilon }_2$  

Zatem wartość momentu siły działającego na tą tarczę, gdy przyspiesza ma postać:

$M_1=I{\epsilon }_1=I2{\epsilon }_2=2I{\epsilon }_2=2M_2$  

 Odpowiedź: 

$\text{A. }{M}_1=2M_2$  

$\text{3. }{\epsilon }_1=2{\epsilon }_2$