Dane:

$m=0,2\text{kg}$  

$\alpha ={30}^{\circ }$  

$a=1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$ . 

 

$\text{a)}$  

Szukane:

$f=?$  

Rozwiązanie:

Układ porusza się w taki sposób, że klocek wiszący na lince opada w dół z przyspieszeniem. Z tego wynika, że klocek na równi porusza się w górę tej równi. Oba klocki mają takie same masy, czyli ich ciężary mają takie same wartości. Wiemy również, że masę bloczka i linki pomijamy. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$\alpha$  - kąt nachylenia równi do poziomu,

${\overrightarrow{F}}_c$  - siła ciężkości każdego z klocków, 

${\overrightarrow{F}}_{\mid \mid }$  - składowa siły ciężkości klocka znajdującego się na równi, która jest równoległa do kierunku ruchu tego klocka, 

${\overrightarrow{F}}_{\perp }$  - składowa siły ciężkości klocka znajdującego się na równi, która jest prostopadła do kierunku ruchu tego klocka, 

$\overrightarrow{T}$  - siła tarcia klocka na równi o podłoże, 

${\overrightarrow{F}}_R$  - siła reakcji działająca na klocka na równi, 

${\overrightarrow{F}}_N$  - siła naciągu linki działającą pomiędzy klockami. 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie współczynnika tarcia kinetycznego klocka o równię. Wartość siły tarcia obliczamy z zależności:

$T=fN$  

gdzie:

$T$  - wartość siły tarcia działającej pomiędzy ciałem, a podłożem, 

$f$  - współczynnik tarcia, 

$N$  - wartość siły nacisku ciała na podłoże. 

W naszym przypadku możemy zauważyć, że siłą nacisku klocka na podłoże odpowiada składowej siły ciężkości klocka znajdującego się na równi, która jest prostopadła do kierunku ruchu tego klocka:

$N=F_{\perp }$  

Z rysunku wynika, że:

$\sin \alpha =\frac{F_{\mid \mid }}{F_c}\text{, czyli }{F}_{\mid \mid }=F_c\sin \alpha$  

$\cos \alpha =\frac{F_{\perp }}{F_c}\text{, czyli }{F}_{\perp }=F_c\cos \alpha$  

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_c=mg$  

gdzie:

$m$  - masa ciała, 

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Z tego wynika, że wartość siły tarcia możemy przedstawić wzorem:

$T=f{F}_{\perp }$  

$T=f{F}_c\cos \alpha$  

$T=fmg\cos \alpha$  

Korzystając z II zasady dynamiki Newtona możemy zapisać równanie ruchu, z którego wyznaczymy współczynnik tarcia:

$ma=F_N-F_{\mid \mid }-T$  

gdzie:

$m$  - masa klocka na równi (jak i również klocka zwisającego), 

$a$  - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ten klocek (przyspieszenie układu).

Nie znamy wartości siły naciągu nici, ale jej wartość możemy wyznaczyć zapisując równanie ruchu dla klocka wiszącego na lince:

$ma=F_c-F_N$  

Wówczas:

$ma=F_c-F_N\mid +F_N$  

$ma+F_N=F_c\mid -ma$  

$F_N=F_c-ma$  

Zatem wracając do równania ruchu dla klocka na równi możemy współczynnik tarcia przedstawić wzorem:

$ma=F_N-F_{\mid \mid }-T$  

$ma=F_c-ma-F_{\mid \mid }-T\mid +T$  

$ma+T=F_c-ma-F_c\sin \alpha \mid -ma$  

$T=F_c-2ma-F_c\sin \alpha$  

$fmg\cos \alpha =mg-2ma-mg\sin \alpha$  

$fmg\cos \alpha =mg-2ma-mg\sin \alpha \mid :mg\cos \alpha$  

$f=\frac{mg-2ma-mg\sin \alpha }{mg\cos \alpha }$  

$f=\frac{mg-mg\sin \alpha -2ma}{mg\cos \alpha }$  

$f=\frac{mg\left(1-\sin \alpha \right)-2ma}{mg\cos \alpha }$  

$f=\frac{g\left(1-\sin \alpha \right)-2a}{g\cos \alpha }$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f=\frac{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(1-\sin {30}^{\circ }\right)-2\cdot 1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \cos {30}^{\circ }}=$  

$=\frac{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(1-0,5\right)-2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,866}=$  

$=\frac{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,5-2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{8,66\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{8,66\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{3\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{8,66\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}\approx 0,34642\approx 0,35$  

Odpowiedź: Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi około 0,35.

 

$\text{b)}$  

W tym przypadku mamy:

$\beta ={60}^{\circ }$  

Rozważyć należy: Jak zachowa się układ?

 

 Przeprowadzone rozumowanie: 

Zwiększamy kąt nachylenia równi i zastanawiamy się, jak zachowa się układ, czy będzie się poruszał, czy spoczywał. W takim przypadku musimy rozważyć siły działające w tym układzie po zmianie kąta. Wówczas mamy:

gdzie:

$\sin \beta =\frac{F{{}^{\prime }}_{\mid \mid }}{F_c}\text{, czyli }F{{}^{\prime }}_{\mid \mid }=mg\sin \beta$  

$\cos \beta =\frac{F{{}^{\prime }}_{\perp }}{F_c}\text{, czyli }F{{}^{\prime }}_{\perp }=mh\cos \beta$  

Z tego wynika, że wartości tych składowych wynoszą:

$F{{}^{\prime }}_{\mid \mid }=0,2\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \sin {60}^{\circ }=2\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,866=1,732\text{N}$  

$F{{}^{\prime }}_{\perp }=0,2\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \cos {60}^{\circ }=2\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,5=1\text{N}$  

Gdyby układ się poruszał to współczynnik tarcia kinetycznego nie zmieniałby swojej wartości (obliczonej w poprzednim podpunkcie) i wartość siły tarcia w tym przypadku wynosiłaby:

$T{}^{\prime }=fF{{}^{\prime }}_{\perp }$  

$T{}^{\prime }\approx 0,35\cdot 1\text{N}=0,35\text{N}$  

 

Oznacza to, że jeżeli układ porusza się w górę równi to spełnione muszą być warunki:

▶ dla klocka na równi:

$F{{}^{\prime }}_N\ge F_{\mid \mid }+T{}^{\prime }$  

$F{{}^{\prime }}_N\ge 1,732\text{N}+0,35\text{N}$  

$F{{}^{\prime }}_N\ge 2,082\text{N}$  

▶ dla wiszącego klocka:

$a\ge 0$   gdy:

$ma{}^{\prime }=F_c-F_N$  

$ma{}^{\prime }=mg-F_N$  

$0,2\text{kg}\cdot a{}^{\prime }=0,2\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-2,082\text{N}$  

$0,2\text{kg}\cdot a{}^{\prime }=2\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-2,082\text{N}$  

$0,2\text{kg}\cdot a{}^{\prime }=2\text{N}-2,082\text{N}$  

$0,2\text{kg}\cdot a{}^{\prime }=-0,082\text{N}\mid :0,2\text{kg}$  

$a{}^{\prime }=-0,41\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Otrzymaliśmy, że dla warunku dla klocka na równi nie jest spełniony warunek dla wiszącego klocka. Oznacza to, że jest to SPRZECZNOŚĆ i klocek nie porusza się górę równi.

 

Jeżeli układ porusza się w dół równi to spełnione muszą być warunki:

▶ dla klocka na równi: siła tarcia zwrócona jest wówczas w górę równi:

$F{{}^{\prime }}_N+T{}^{\prime }\le F{{}^{\prime }}_{\mid \mid }$  

$F{{}^{\prime }}_N+0,35\text{N}\le 1,732\text{N}\mid -0,35\text{N}$  

$F{{}^{\prime }}_N\le 1,382\text{N}$  

▶ dla wiszącego klocka:

$a\ge 0$  gdy:

$ma{}^{\prime }=F_N-F_c$  

$ma{}^{\prime }=F_N-mg$  

$0,2\text{kg}\cdot a{}^{\prime }=1,382\text{N}-0,2\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

$0,2\text{kg}\cdot a{}^{\prime }=1,382\text{N}-2\text{N}$  

$0,2\text{kg}\cdot a{}^{\prime }=-0,618\text{N}\mid :0,2\text{kg}$  

$a{}^{\prime }=-3,09\text{N}$  

Otrzymaliśmy, że dla warunku dla klocka na równi nie jest spełniony warunek dla wiszącego klocka. Oznacza to, że jest to SPRZECZNOŚĆ i klocek nie porusza się w dół równi.

 

Skoro klocek nie porusza się, ani w dół równi, ani w górę równi to oznacza, że klocek spoczywa!

Oznacza to, że musimy obliczyć teraz siłę tarcia statycznego klocka. Wartość siły tarcia obliczymy zapisując równanie wynikające z I zasady dynamiki:

$T_s+F{{}^{\prime }}_{\mid \mid }=F_N$  

Klocek wiszący również jest w spoczynku, czyli:

$F_N=F_c$  

Oznacza to, że:

$T_s+F{{}^{\prime }}_{\mid \mid }=F_c\mid -F{{}^{\prime }}_{\mid \mid }$  

$T_s=F_c-F{{}^{\prime }}_{\mid \mid }$  

$T_s=mg-mg\sin \beta$  

$T_s=mg\left(1-\sin \beta \right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_s=0,2\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(1-\sin {60}^{\circ }\right)=2\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\left(1-0,866\right)=$

$=2\text{N}\cdot 0,134=0,268\text{N}\approx 0,27\text{N}$

Ponieważ jest to tarcie statyczne to jego kierunek będzie równoległy do powierzchni równi, a jego zwrot ku dołowi równi.