Dane:

$m=35kg$  

$f=12\frac{1}{\text{min}}=12\cdot \frac{1}{60s}=0,2\frac{1}{s}$  

$F_d=166N$  

Przyjmujemy, że:

$g=10\frac{m}{s^2}$  

 

$a)$  

Szukane:

$r=?$  

Rozwiązanie:

Korzystamy z wzoru na siłę dośrodkową, która ma postać:

$F_d=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie F_d jest siłą dośrodkową, m jest masą dziecka, r jest promieniem okręgu na jakim porusza się dziecko, v jest prędkością liniową dziecka. Szybkość liniową możemy przedstawić jako iloczyn szybkości kątowej i promienia okręgu:

$v=\omega r$  

gdzie ω jest prędkością kątową, r jest promieniem okręgu. Prędkość kątową możemy przedstawić jako:

$\omega =2\pi f$  

gdzie f jest częstotliwością obrotu dziecka. Otrzymujemy wówczas zależność, z której wyznaczamy wartość promienia okręgu, po którym porusza się dziecko:

$F_d=\frac{m{v}^2}{r}\mid \cdot r$  

$F_{d}r=m{v}^2$  

$F_{d}r=m{\left(\omega r\right)}^2$  

$F_{d}r=m{\omega }^2{r}^2\mid :r$   

$F_d=m{\omega }^{2}r\mid :m{\omega }^2$  

$\frac{F_d}{m{\omega }^2}=r$  

Zamieniamy stronami: 

$r=\frac{F_d}{m{\omega }^2}$  

$r=\frac{F_d}{m{\left(2\pi f\right)}^2}$  

$r=\frac{F_d}{4{\pi }^{2}m{f}^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$r=\frac{166N}{4\cdot {\left(3,14\right)}^2\cdot 35kg\cdot {\left(0,2\frac{1}{s}\right)}^2}=$  

$=\frac{166kg\cdot \frac{m}{s^2}}{4\cdot 9,8596\cdot 35kg\cdot 0,04\frac{1}{s^2}}=$  

$=\frac{166\frac{kg}{s^2}\cdot m}{55,21376\frac{kg}{s^2}}=$  

$=3,0065m\approx 3m$  

 

$b)$  

Szukane:

$\omega =?$  

$v=?$  

Rozwiązanie:

Wiemy, że szybkość kątową możemy obliczyć ze wzoru:

$\omega =2\pi f$  

Natomiast szybkość liniową obliczamy z zależności:

$v=2\pi fr$  

$v=\cancel{2\pi }\cancel{f}\cdot \frac{F_d}{\underset{2\pi }{\cancel{4{\pi }^2}}m{f}^{\cancel{2}}}$  

$v=\frac{F_d}{2\pi mf}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzorów:

$\omega =2\cdot 3,14\cdot 0,2\frac{1}{s}=1,256\frac{\text{rad}}{s}\approx 1,3\frac{\text{rad}}{s}$  

$v=\frac{166N}{2\cdot 3,14\cdot 35kg\cdot 0,2\frac{1}{s}}=\frac{166kg\cdot \frac{m}{s^2}}{43,96kg\cdot \frac{1}{s}}\approx$  

$\approx 3,77616\frac{m}{s}\approx 3,8\frac{m}{s}$  

 

$c)$  

Szukane:

$\alpha =?$  

Rozwiązanie:

Na dziecko będzie działa siła dośrodkowa oraz siła ciężkości:

Z tego wynika, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{F_d}{F_g}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{F_d}{mg}$  

Zatem:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{166N}{35kg\cdot 10\frac{m}{s^2}}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{166N}{350kg\cdot \frac{m}{s^2}}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{166N}{350N}$  

$\mathrm{tg}\alpha \approx 0,4743$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych zamieszczonych na stronie 143 tego zbioru zadań możemy odczytać, że:

$\alpha \approx {25}^{\circ }$