$a)$  

SPOSÓB I ROZWIĄZANIA ZADANIA:

Tor powietrzny z jednej strony podnosimy, czyli zostaje on nachylony po poziomu pod pewnym kątem $\alpha$ . Na torze powietrznym nie działają siły tarcia, czyli możemy je pominąć w dalszych rozważaniach. Zatem na wózek działa tylko jego siła ciężkości ${\overrightarrow{F}}_c$ , która rozkłada się na składową równoległą ${\overrightarrow{F}}_{\mid \mid }$  i prostopadłą ${\overrightarrow{F}}_{\perp }$  względem toru ruchu.

Zauważmy, że:

$\sin \alpha =\frac{h}{s}\text{ oraz }\sin \alpha =\frac{F_{\mid \mid }}{F_c}$  

Wózek zjeżdża w dół toru i uzyskuje na końcu toru prędkość o wartości:

$v=4\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Korzystając z II zasady dynamiki Newtona możemy zapisać, że przyspieszenie uzyskane przez wózek wynosi:

$ma=F_{\mid \mid }\mid :m$  

$a=\frac{F_{\mid \mid }}{m}$  

Wózek od zerowej wartości prędkości osiąga wartość  $v$ . Z tego wynika, że czas ruchu tego wózka możemy przedstawić jako:

$t=\frac{v}{a}$  

gdzie $a$  jest przyspieszeniem z jakim się porusza wózek, $t$  jest czasem ruchu. Zatem droga przebyta przez ten wózek wynosi:

$s=\frac{1}{2}a{t}^2$  

$s=\frac{1}{2}a{\left(\frac{v}{a}\right)}^2$  

$s=\frac{1}{2}a\frac{v^2}{a^2}$  

$s=\frac{v^2}{2a}$  

$s=\frac{v^2}{2F_{\mid \mid }}$  

$s=\frac{m{v}^2}{2F_{\mid \mid }}$  

Wartość siły ciężkości przedstawiamy wzorem:

$F_c=mg$  

gdzie $m$  jest masą wózka, $g$  jest wartością przyspieszenia ziemskiego i wynosi:

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Wówczas:

$\frac{h}{s}=\frac{F_{\mid }\mid }{F_c}$  

$\frac{h}{\frac{m{v}^2}{2F_{\mid \mid }}}=\frac{F_{\mid }\mid }{F_c}$  

$\frac{2h\cancel{F_{\mid \mid }}}{m{v}^2}=\frac{\cancel{F_{\mid }\mid }}{F_c}\mid \cdot m{v}^2$  

$2h=\frac{m{v}^2}{F_c}\mid :2$  

$h=\frac{m{v}^2}{2F_c}$  

$h=\frac{\cancel{m}{v}^2}{2\cancel{m}g}$  

$h=\frac{v^2}{2g}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$h=\frac{{\left(4\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{2\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{16\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{20\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=0,8\text{m}$  

SPOSÓB II ROZWIĄZANIA ZADANIA:

Na szczycie równie pochyłej wózek posiada pewną energię potencjalną i zerową energię kinetyczną, ponieważ nie porusza się wówczas:

$E_{p.h}=mgh$  

$E_{k.h}=0$  

gdzie $m$  jest masą wózka, $g$  jest wartością przyspieszenia ziemskiego, $h$  jest wysokością, na jakiej znajduje się wózek. 

Znamy jego szybkość u podstawy równi, dlatego możemy zapisać, że wówczas jego energia potencjalna i kinetyczna mają postać:

$E_{p.0}=0$  

$E_{k.0}=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie $v$  jest szybkością wózka u podstawy równi i wynosi:

$v=4\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Korzystając z zasady zachowania energii otrzymujemy, że początkowa wysokość, na której znajdował się wózek ma postać:

$E_{p.h}+E_{k.h}=E_{p.0}+E_{k.0}$  

$\cancel{m}gh+0=0+\frac{\cancel{m}{v}^2}{2}$  

$gh=\frac{v^2}{2}\mid :g$  

$h=\frac{v^2}{2g}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$h=\frac{{\left(4\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{2\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{16\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{20\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=0,8\text{m}$  

 

$b)$  

SPOSÓB I ROZWIĄZANIA ZADANIA:

Tutaj mamy odwrotną sytuację. Siła ciężkości opóźnia wózek zamiast nadawać przyspieszenia.

$F_{\mid \mid }=ma$  

Tor powietrzny ustawiony jest pod tym samym kątem, czyli wysokość na jaką może wjechać wózek jest taka sama. Zatem wózek przebywa drogę:

$s=\frac{m{v}^2}{2F_{\mid \mid }}$  

$s=\frac{m{v}^2}{2ma}$  

$s=\frac{v^2}{2a}$  

Wiemy, że szybkość początkowa wózka wynosiła:

$v_0=5\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Zatem z zależności szybkości od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym możemy wyznaczyć czas ruchu:

$v_k=v_0-at\mid +at-v_{k}l$  

$at=v_0-v_k\mid :a$  

$t=\frac{v_0-v_k}{a}$  

Zatem droga przebyta w tym przypadku przez wózek będzie wynosiła:

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$  

$s=v_0\frac{v_0-v_k}{a}-\frac{1}{2}a{\left(\frac{v_0-v_k}{a}\right)}^2$  

$s=\frac{v_0^2-v_0{v}_k}{a}-\frac{1}{2}a\frac{{\left(v_0-v_k\right)}^2}{a^2}$  

$s=\frac{v_0^2-v_0{v}_k}{a}-\frac{{\left(v_0-v_k\right)}^2}{2a}$  

$s=\frac{2\left(v_0^2-v_0{v}_k\right)}{2a}-\frac{{\left(v_0-v_k\right)}^2}{2a}$  

$s=\frac{2v_0^2-2v_0{v}_k}{2a}-\frac{v_0^2+v_k^2-2v_0{v}_k}{2a}$  

$s=\frac{2v_0^2-2v_0{v}_k-v_0^2-v_k^2+2v_0{v}_k}{2a}$  

$s=\frac{v_0^2-v_k^2}{2a}$  

Wówczas szybkość końcowa wózka na szczycie toru powietrznego ma wartość:

$s=\frac{v_0^2-v_k^2}{2a}$  

$\frac{v^2}{\cancel{2a}}=\frac{v_0^2-v_k^2}{\cancel{2a}}$  

$v^2=v_0^2-v_k^2\mid +v_k^2-v^2$  

$v_k^2=v_0^2-v^2\mid \sqrt{}$  

$v_k=\sqrt{v_0^2-v^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_k=\sqrt{{\left(5\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2-{\left(4\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}=\sqrt{25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-16\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\sqrt{9\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=3\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

SPOSÓB II ROZWIĄZANIA ZADANIA:

Mamy tutaj sytuację, gdy u podstawy równi nadajemy wózkowi prędkość i sprawdzamy, na jaką szybkość osiągnie na maksymalnej wysokości. Wiemy, że wówczas:

$v_0=5\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Możemy zatem zapisać, że:

$E_{p.0}=0$  

$E_{k.0}=\frac{m{v}_0^2}{2}$  

$E_{p.h}=mgh$  

$E_{k.h}=\frac{m{v}_k^2}{2}$  

Korzystając z zasady zachowania energii otrzymujemy:

$E_{p.h}+E_{k.h}=E_{p.0}+E_{k.0}$  

$\cancel{m}gh+\frac{\cancel{m}{v}_k^2}{2}=0+\frac{\cancel{m}{v}_0^2}{2}\mid \cdot 2$  

$2gh+v_k^2=v_0^2\mid -2gh$  

$v_k^2=v_0^2-2gh$  

$v_k^2=v_0^2-2g\cdot \frac{v^2}{2g}$  

$v_k^2=v_0^2-v^2\mid \sqrt{}$  

$v_k=\sqrt{v_0^2-v^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_k=\sqrt{{\left(5\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2-{\left(4\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}=\sqrt{25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-16\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\sqrt{9\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=3\frac{\text{m}}{\text{s}}$