Wykonajmy rysunek do zadania:

W zadaniu podane mamy, że:

$h=0,75R$  

Na punkt A działa natężenie grawitacyjne pochpodzące od całej masy Ziemi, natomiast na punkt B działa natężenie grawitacyjne pochodzące od pewnej części objętości Ziemi. Wiemy, że natężenie grawitacyjne opisujemy wzorem:

$\gamma =\frac{GM}{r^2}$  

gdzie G jest stałą grawitacyjną, γ jest natężeniem pola grawitacyjnego ciała znajdującego się w odległości r od ciała o masie M. Wówczas natężenie grawitacyjne w każdym z punktów będzei wynosiło:

${\gamma }_A=\frac{G{M}_A}{d_A^2}$  

${\gamma }_B=\frac{G{M}_B}{d_B^2}$  

gdzie:

$d_A=2R$  

$d_B=r$  

Przyjmując, że Ziemia jest kulą możemy zapisać, że objętość Ziemi działająca na poszczególne punkty wyrazimy wzoremi:

$V_A=\frac{4}{3}\pi R^3$  

$V_B=\frac{4}{3}\pi r^3$  

Wiemy, że masę Ziemi dla poszczególnych punktów możemy wyznaczyć korzystając z wzoru na gęstość:

$\rho =\frac{m}{V}\Rightarrow m=\rho \cdot V$  

gdzie ρ jest gęstością, m jest masą, V jest objętością. Gęstość Ziemi jest stała, wówczas możemy zapisać, że masa Ziemi dla poszczególnych punktów wynosi:

$M_A=\rho \cdot V_A=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \rho R^3$  

$M_B=\rho \cdot V_B=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \rho r^3$  

Z rysunku widzimy, że:

$r=R-h$  

$r=R-0,75R$  

$r=0,25R$

$r=\frac{1}{4}R$  

Wówczas otrzymujemy, że natężenie grawitacyjnego w punkcie A będzie wynosiło:

${\gamma }_A=\frac{G{M}_A}{d_A^2}$   

${\gamma }_A=\frac{G\cdot \frac{4}{3}\pi \rho R^3}{{\left(2R\right)}^2}$   

${\gamma }_A=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{G\rho R^3}{4R^2}$   

${\gamma }_A=\frac{1}{3}\pi \cdot G\rho R$   

Natomiast w punkcie B będzie wynosiło:

${\gamma }_B=\frac{G{M}_B}{d_B^2}$   

${\gamma }_B=\frac{G\cdot \frac{4}{3}\pi \rho r^3}{r^2}$   

${\gamma }_B=\frac{4}{3}\pi \cdot G\rho r$   

${\gamma }_B=\frac{4}{3}\pi \cdot G\rho \cdot \frac{1}{4}R$   

${\gamma }_B=\frac{1}{3}\pi \cdot G\rho R$   

Otrzymaliśmy zatem, że:

${\gamma }_A=\frac{1}{3}\pi \cdot G\rho R$  

${\gamma }_B=\frac{1}{3}\pi \cdot G\rho R$     

Wówczas otrzymujemy, że natężenie w tych punktach są sobie prawie równe, ponieważ przyjęliśmy że Ziemia jest kulą oraz gęstość Ziemi w każdym jej punkcie jest taka sama:

${\gamma }_A\approx {\gamma }_B$