Dane:

$d=30\text{cm}=0,3\text{m}$  

$H=50\text{cm}=0,5\text{m}$  

 

$\text{a)}$  

Szukane:

$P_1=?$  

$P_2=?$  

Rozwiązanie:

•  Winda porusza się w górę ruchem jednostajnie przyspieszonym 

W zadaniu podaną mamy wartość przyspieszenia windy:

$a_1=2,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Na oliwę w cylindrze działa siła ciężkości ${\overrightarrow{F}}_c$  oraz siła bezwładności ${\overrightarrow{F}}_b$ .

Siła ciężkości zawsze zwrócona jest w dół, a jej wartość możemy przedstawić wzorem:

$F_c=mg$  

gdzie $m$  jest masą (oliwy w cylindrze), $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  jest wartością przyspieszenia ziemskiego. 

Siła bezwładności zwrócona jest zawsze przeciwnie do kierunku ruchu układu, czyli w tym przypadku w dół. Jej wartość możemy przedstawić wzorem:

$F_{b.1}=m{a}_1$  

gdzie $m$  jest masą (oliwy w cylindrze), $a_1$  jest wartością przyspieszenia, z jakim porusza się układ (winda).

Siłą parcia jest siłą, jaka działać będzie na dno cylindra oraz będzie wypadkową tych dwóch sił. 

Zatem dla tego przypadku jej wartość będzie miała postać:

$P_1=F_c+F_{b.1}$  

$P_1=mg+m{a}_1$  

$P_1=m\left(g+a_1\right)$  

Nie znamy masy oliwy w cylindrze, ale wiedząc że cylinder o podanej wysokości i średnicy wypełniony był nią do połowy możemy za pomocą definicji gęstości wyznaczyć tą masę:

$m=\rho V$  

gdzie $\rho =800\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  jest gęstością oliwy (odczytana z tablic), $V$  jest jej objętością w cylindrze. 

Objętość oliwy możemy przedstawić jako iloczyn pola podstawy $S$  i wysokości $h$ :

$V=Sh$  

Wiemy, że polem podstawy cylindra było koło o średnicy $d$ . Promień jest połową długości średnicy $r=\frac{1}{2}d$ , dlatego pole podstawy możemy przedstawić wzorem:

$S=\pi r^2$  

$S=\pi {\left(\frac{1}{2}d\right)}^2$  

$S=\frac{1}{4}\pi d^2$  

Oliwa była nalana do cylindra do połowy, czyli:

$h=\frac{1}{2}H$  

gdzie $H$  jest wysokością całego cylindra. 

Zatem masę oliwy w cylindrze możemy przedstawić ostatecznie wzorem:

$m=\rho V$  

$m=\rho Sh$  

$m=\rho \cdot \frac{1}{4}\pi d^2\cdot \frac{1}{2}H$  

$m=\frac{1}{8}\pi d^{2}H\rho$  

Oznacza to, że ostatecznie wartość siły parcia słupa cieczy na dno naczynia będzie miała postać:

$P_1=m\left(g+a_1\right)$  

$P_1=\frac{1}{8}\pi d^{2}H\rho \left(g+a_1\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_1=\frac{1}{8}\cdot 3,14\cdot {\left(0,3\text{m}\right)}^2\cdot 0,5\text{m}\cdot 800\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \left(10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}+2,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)=$  

$=0,125\cdot 3,14\cdot 0,09\cancel{{\text{m}}^2}\cdot 0,5\cancel{\text{m}}\cdot 800\frac{\text{kg}}{\cancel{{\text{m}}^3}}\cdot 12,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=$  

$=176,625\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=176,625\text{N}\approx 176,6\text{N}$  

•  Winda porusza się w dół ruchem jednostajnie przyspieszonym 

W zadaniu podaną mamy wartość przyspieszenia windy:

$a_2=3,3\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Wówczas na oliwę w cylindrze również działa siła ciężkości ${\overrightarrow{F}}_c$  oraz siła bezwładności ${\overrightarrow{F}}_b$ .

Siła ciężkości zawsze zwrócona jest w dół, ale w tym przypadku siła bezwładności zwrócona jest do góry. 

Wartość siły bezwładności będzie miała postać:

$F_{b.2}=m{a}_2$  

gdzie $a_2$  jest wartością przyspieszenia windy w tym ruchu. 

Wiemy, że masa oliwy w cylindrze wynosi:

$m=\frac{1}{8}\pi d^{2}H\rho$  

Siłą parcia jest siłą, jaka działać będzie na dno cylindra oraz będzie wypadkową tych dwóch sił. W tym przypadku będzie miała ona postać:

$P_2=F_c-F_{b.2}$  

$P_2=mg-m{a}_2$  

$P_2=m\left(g-a_2\right)$  

$P_2=\frac{1}{8}\pi d^{2}H\rho \left(g-a_2\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_2=\frac{1}{8}\cdot 3,14\cdot {\left(0,3\text{m}\right)}^2\cdot 0,5\text{m}\cdot 800\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \left(10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-3,3\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)=$  

$=0,125\cdot 3,14\cdot 0,09\cancel{{\text{m}}^2}\cdot 0,5\cancel{\text{m}}\cdot 800\frac{\text{kg}}{\cancel{{\text{m}}^3}}\cdot 6,7\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=$  

$=94,671\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=94,671\text{N}\approx 94,7\text{N}$  

 

$\text{b)}$  

Szukane:

$p_1=?$  

$p_2=?$  

$\Delta p=?$  

Rozwiązanie:

Ciśnienie to wielkość, która określa, jaka siła działa na jednostkę powierzchni:

$p=\frac{F}{S}$  

gdzie $F$  jest wartością siły parcia (nacisku na powierzchnię), $S$  jest polem powierzchni, na które wywierane jest parcie. 

Zatem ciśnienie wywierane przez oliwę w cylindrze, który znajduje się w windzie poruszającej się w górę możemy przedstawić wzorem:

$p_1=\frac{P_1}{S}$  

$p_1=\frac{\frac{1}{8}\pi d^{2}H\rho \left(g+a_1\right)}{\frac{1}{4}\pi d^2}$  

$p_1=\frac{1}{2}H\rho \left(g+a_1\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$p_1=\frac{1}{2}\cdot 0,5\text{m}\cdot 800\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \left(10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}+2,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)=$  

$=0,5\cdot 0,5\text{m}\cdot 800\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 12,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=$  

$=2500\frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot {\text{s}}^2}=2500\text{Pa}$  

Natomiast ciśnienie wywierane przez oliwę w cylindrze, który znajduje się w windzie poruszającej się w dół możemy przedstawić wzorem:

$p_2=\frac{P_2}{S}$  

$p_2=\frac{\frac{1}{8}\pi d^{2}H\rho \left(g-a_2\right)}{\frac{1}{4}\pi d^2}$  

$p_2=\frac{1}{2}H\rho \left(g-a_2\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$p_2=\frac{1}{2}\cdot 0,5\text{m}\cdot 800\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \left(10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-3,3\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)=$  

$=0,5\cdot 0,5\text{m}\cdot 800\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 6,7\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=$  

$=1340\frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot {\text{s}}^2}=1340\text{Pa}$  

Otrzymane wyniki świadczą o tym, że ciśnienie gdy winda jedzie w górę jest większe od ciśnienia, gdy winda jedzie w dół.

Obliczamy o ile większe jest ciśnienie w pierwszym przypadku:

$\Delta p=p_1-p_2$  

$\Delta p=2500\text{Pa}-1340\text{Pa}=1160\text{Pa}$