Autorzy:Agnieszka Bożek, Katarzyna Nessing, Jadwiga Salach

Wydawnictwo:ZamKor / WSiP

Rok wydania:2016

Samochód rusza z punktu P i jedzie z przyspieszeniem o wartości... 4.63 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Fizyka

Samochód rusza z punktu P i jedzie z przyspieszeniem o wartości...

1.32
 Zadanie
1.33
 Zadanie

1.34
 Zadanie

1.35
 Zadanie
1.36
 Zadanie

Wypiszmy dane liczbowe podane w zadaniu:

`a=0,5\ m/s^2` 

`t=40\ s` 

`v=120\ (km)/h = 120*(1000\ m)/(3600\ s) = 33,33\ m/s`  

 

`a)` 

Wiemy, że drogę jaką przebędzie motocyklista po minięciu punktu P możemy przedstawić jako:

`s_M=v*T` 

Gdzie T jest czasem ruchu motocyklisty. Dla samochodu możemy zapisać, że jego droga wynosi:

`s_S=1/2a(t+T)^2` 

Jesli motocyklista dogoni samochód to wówczas te drogi będą sobie równe. Możemy wówczas zapisać, że:

`s_S=s_M` 

`1/2a(t+T)^2 = v*T` 

`1/2a(t^2+T^2+2tT)=vT\ \ \ \ |*2` 

`at^2+aT^2+2atT=2vT\ \ \ \ |-2vT` 

`at^2+aT^2+2atT-2vT=0` 

Widzimy, że jedyną niewiadomą w naszym równaniu jest czas T po jakim motocykl spotka samochód od chwili minięcia punktu P. Zapiszmy wówczas równanie w kolejności od największej potęgi T.

`aT^2+(2at-2v)T+at^2 = 0` 

Widzimy, że mamy do czynienia z równaniem kwadratowym, którego ogólna postać wygląda następująco:

`ax^2+bx+c=0` 

Gdzie dla naszego przypadku mamy, że:

`a=a\ \ \ \ _"(współczynnik a w ogólnym równaniu kwadratowym ma wartość przyspieszenia dla naszego przypadku)"`  

`b=2at-2v` 

`c=at^2` 

Szukamy rozwiązań naszego równania kwadratowego poprzez zbadanie delty. Wiemy, że ogólny wzór na deltę ma postać:

`Delta = b^2-4ac` 

Dla naszego przypadku mamy wówczas, że:

`Delta=(2at-2v)^2-4*a*at^2 = 4a^2t^2+4v^2-8atv-4a^2t^2 = 4v^2-8atv` 

`Delta=4v^2-8atv` 

Podstawiamy dane do wzoru:

`Delta=4*(33,33\ m/s)^2 - 8*0,5\ m/s^2*40\ s*33,33\ m/s = 4*1110,89\ m^2/s^2 - 5332,8 m^2/s^2 = 4443,56\ m^2/s^2 -5332,8=-889,24\ m^2/s^2 ` 

Oznacza to, że:

`Delta<0` 

Wówczas równanie nie ma rozwiązań, a to znaczy, że nie istnieje czas po jakim motocykl mógłby dogonić samochód. 

 

`b)` 

Korzystamy z podpunktu a). Minimalną wartość prędkości jaką musi mieć motocykl rozpatrzymy z warunku, że wówczas delta musi być równa zero - to znaczy mieć jedno rozwiązanie:

`Delta=0` 

Otrzymujemy, że:

`4v^2-8atv=0\ \ \ \ |+8atv`  

`4v^2=8atv\ \ \ \ |:4v` 

`v=2at` 

gdzie dla naszego przypadku v=vmin. Oznacza to, że mamy:

`v_"min" = 2*0,5\ m/s^2*40\ s = 40\ m/s=40*(0,001\ km)/(1/(3600)\ h) = 144\ (km)/h` 

Gdy delta w równaniu kwadratowym jest równa zero to równanie ma jedno rozwiązanie w postaci:

`x=(-b)/(2a)` 

Wówczas dla naszego przypadku mamy, że:

`x=T` 

`b=2at-2v_"min"`  

`a=a` 

Otrzymujemy:

`T=(-(2at-2v_"min"))/(2a)`  

`T=(-2at+2v_"min")/(2a)`  

`T=-t+v_"min"/a` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`T=-40\ s+(40\ m/s)/(0,5\ m/s^2)= -40\ s+80\ s=40\ s` 

Wiemy jednak, że T jest czasem który minie od przejechania motocyklu przez punkt P do czasu minięcia samochodu. Oznacza to, że całkowity czas ruchu samochodu wynosi:

`t_c=t+T` 

`t_c=40\ s+40\ s=80\ s`    

 

`c)` 

Drogę do chwili spotkania będziemy obliczać korzystając z wzorów zapisanych w podpunkcie a). Wiemy, że:

`s_S=s_M=s=v_min*T` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`s=40\ m/s*40\ s=1600\ m = 1,6\ km`    

 

`d)` 

Będziemy korzystać z wzorów w podpunkcie a):

`s_M=v_"min"T`  

`s_S=1/2a(t+T)^2`  

Rysujemy wykres: