$a)$  

Wartość współrzędnej przyspieszenie obliczamy korzystając z wzoru:

$a_x=\frac{\Delta v}{\Delta t}$  

gdzie $\Delta v$  jest zmianą (przyrostem) prędkości, a $\Delta t$  jest czasem, w jakim nastąpiła ta zmiana.

Zauważmy, że ruch ciała możemy podzielić na wykresie na 6 szczególnych etapów:

▶ etap 1: od 0 s ruchu do 2 s ruchu - współrzędna prędkości wzrasta ze znakiem dodatnim,

▶ etap 2: od 2 s ruchu do 4 s ruchu - współrzędna prędkości jest stała,

▶ etap 3: od 4 s ruchu do 5 s ruchu - współrzędna prędkości maleje ze znakiem dodatnim,

▶ etap 4: od 5 s ruchu do 6 s ruchu - współrzędna prędkości wzrasta ze znakiem ujemnym,

▶ etap 5: od 6 s ruchu do 7 s ruchu - współrzędna prędkości jest stała,

▶ etap 6: od 7 s ruchu do 9 s ruchu - współrzędna prędkości maleje ze znakiem ujemnym.

Dla poszczególnych etapów ruchu odczytujemy współrzędne na osi czasu i prędkości na początku i końcu każdego z etapów:

$\left(t_0,v_0\right)=\left(0\text{s},0\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)$  

$\left(t_1,v_1\right)=\left(2\text{s},2\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)$  

$\left(t_2,v_2\right)=\left(4\text{s},2\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)$  

$\left(t_3,v_3\right)=\left(5\text{s},0\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)$  

$\left(t_4,v_4\right)=\left(6\text{s},-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)$  

$\left(t_5,v_5\right)=\left(7\text{s},-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)$  

$\left(t_6,v_6\right)=\left(9\text{s},0\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)$  

Wówczas zmiany (przyrosty) prędkości i czasu dla poszczególnych etapów ruchu wynoszą:

▶ etap 1: od 0 s ruchu do 2 s ruchu:

$\Delta v_1=v_1-v_0\text{, czyli }\Delta v_1=2\frac{\text{m}}{\text{s}}-0\frac{\text{m}}{\text{s}}=2\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$\Delta t_1=t_1-t_0\text{, czyli }\Delta t_1=2\text{s}-0\text{s}=2\text{s}$  

▶ etap 2: od 2 s ruchu do 4 s ruchu:

$\Delta v_2=v_2-v_1\text{, czyli }\Delta v_2=2\frac{\text{m}}{\text{s}}-2\frac{\text{m}}{\text{s}}=0\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$\Delta t_2=t_2-t_1\text{, czyli }\Delta t_2=4\text{s}-2\text{s}=2\text{s}$  

▶ etap 3: od 4 s ruchu do 5 s ruchu:

$\Delta v_3=v_3-v_2\text{, czyli }\Delta v_3=0\frac{\text{m}}{\text{s}}-2\frac{\text{m}}{\text{s}}=-2\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$\Delta t_3=t_3-t_2\text{, czyli }\Delta t_3=5\text{s}-4\text{s}=1\text{s}$  

▶ etap 4: od 5 s ruchu do 6 s ruchu:

$\Delta v_4=v_4-v_3\text{, czyli }\Delta v_4=-2\frac{\text{m}}{\text{s}}-0\frac{\text{m}}{\text{s}}=-2\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$\Delta t_4=t_4-t_3\text{, czyli }\Delta t_4=6\text{s}-5\text{s}=1\text{s}$  

▶ etap 5: od 6 s ruchu do 7 s ruchu:

$\Delta v_5=v_5-v_4\text{, czyli }\Delta v_5=-2\frac{\text{m}}{\text{s}}-\left(-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)=0\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$\Delta t_5=t_5-t_4\text{, czyli }\Delta t_5=7\text{s}-6\text{s}=1\text{s}$  

▶ etap 6: od 7 s ruchu do 9 s ruchu:

$\Delta v_6=v_6-v_5\text{, czyli }\Delta v_6=0\frac{\text{m}}{\text{s}}-\left(-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)=2\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$\Delta t_6=t_6-t_5\text{, czyli }\Delta t_6=9\text{s}-7\text{s}=2\text{s}$  

Wówczas otrzymujemy, że wartości współrzędnych przyspieszenie na poszczególnych etapach ruchu wynosi:

▶ etap 1: od 0 s ruchu do 2 s ruchu:

$a_1=\frac{\Delta v_1}{\Delta t_1}$  

$a_1=\frac{2\frac{\text{m}}{\text{s}}}{2\text{s}}=1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

▶ etap 2: od 2 s ruchu do 4 s ruchu:

$a_2=\frac{\Delta v_2}{\Delta t_2}$  

$a_2=\frac{0\frac{\text{m}}{\text{s}}}{2\text{s}}=0\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

▶ etap 3: od 4 s ruchu do 5 s ruchu:

$a_3=\frac{\Delta v_3}{\Delta t_3}$  

$a_3=\frac{-2\frac{\text{m}}{\text{s}}}{1\text{s}}=-2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

▶ etap 4: od 5 s ruchu do 6 s ruchu:

$a_4=\frac{\Delta v_4}{\Delta t_4}$  

$a_4=\frac{-2\frac{\text{m}}{\text{s}}}{1\text{s}}=-2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

▶ etap 5: od 6 s ruchu do 7 s ruchu:

$a_5=\frac{\Delta v_5}{\Delta t_5}$  

$a_5=\frac{0\frac{\text{m}}{\text{s}}}{1\text{s}}=0\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

▶ etap 6: od 7 s ruchu do 9 s ruchu:

$a_6=\frac{\Delta v_6}{\Delta t_6}$  

$a_6=\frac{2\frac{\text{m}}{\text{s}}}{2\text{s}}=1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Wówczas wykres przyspieszenia w zależności od czasu ma postać:

 

$b)$  

Położenie ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym w zależności od czasu przedstawiamy wzorem:

$x\left(t\right)=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$  

gdzie $a$  jest wartością przyspieszenia, $x_0$  jest początkowym położeniem ciała, $v_0$  jest współrzędną prędkości ciała na początku ruchu.

Jeżeli ciało porusza się ruchem jednostajnym to jego zależność położenia od czasu ma postać:

$x\left(t\right)=x_0+vt$    

gdzie $v$  jest wartością (współrzędną) prędkości, z jaką to ciało się porusza.

Zatem:

▶ etap 1: od 0 s ruchu do 2 s ruchu:

Wówczas ciało porusza się z przyspieszeniem o współrzędnej:

$a_1=1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Jego początkowe położenie wynosi:

$x_{0.1}=0\text{m}$  

Ponadto ruch ciała rozważamy od czasu:

$t_0=0\text{s}$  

$v_0=0\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Zatem zależność położenia od czasu na tym etapie ruchu wynosi

$x_1\left(t\right)=x_{0.1}+v_{0.1}\left(t-t_0\right)+\frac{1}{2}{a}_1{\left(t-t_0\right)}^2\text{, }t\in \left[0\text{s},2\text{s}\right]$  

$x_1\left(t\right)=0\text{m}+0\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(t-0\text{s}\right)+\frac{1}{2}\cdot 1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(t-0\text{s}\right)}^2\text{, }t\in \left[0\text{s},2\text{s}\right]$  

$x_1\left(t\right)=0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot t^2\text{, }t\in \left[0\text{s},2\text{s}\right]$  

Wówczas otrzymamy, że położenie ciała w 1 s ruchu oraz 2 s ruchu ma postać:

$x_1\left(1\text{s}\right)=0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(1\text{s}\right)}^2=0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1{\text{s}}^2=0,5\text{m}$  

$x_1\left(2\text{s}\right)=0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(2\text{s}\right)}^2=0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 4{\text{s}}^2=2\text{m}$  

▶ etap 2: od 2 s ruchu do 4 s ruchu:

Na tym etapie ciało porusza się ze stała wartością prędkości:

$v_2=2\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Jego położenie początkowe wynosi:

$x_{0.2}=x_1\left(2\text{s}\right)=2\text{m}$  

Ponadto ruch ciała rozważamy od czasu:

$t_0=2\text{s}$  

Wówczas otrzymamy, że jego zależność położenia od czasu ma postać:

$x_2\left(t\right)=x_{0.2}+v_2\left(t-t_2\right)\text{, }t\in \left(2\text{s},4\text{s}\right]$    

$x_2\left(t\right)=2\text{m}+2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(t-2\text{s}\right)\text{, }t\in \left(2\text{s},4\text{s}\right]$    

$x_2\left(t\right)=2\text{m}+2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot t-4\text{m}\text{, }t\in \left(2\text{s},4\text{s}\right]$    

$x_2\left(t\right)=2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot t-2\text{m}\text{, }t\in \left(2\text{s},4\text{s}\right]$    

Wówczas otrzymamy, że położenie ciała w 3 s ruchu oraz 4 s ruchu ma postać:

$x_2\left(3\text{s}\right)=2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 3\text{s}-2\text{m}=6\text{m}-2\text{m}=4\text{m}$    

$x_2\left(4\text{s}\right)=2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 4\text{s}-2\text{m}=8\text{m}-2\text{m}=6\text{m}$    

▶ etap 3 i 4: od 4 s ruchu do 6 s ruchu:

Wówczas ciało porusza się z przyspieszeniem o współrzędnej:

$a_3=-2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Jego początkowe położenie wynosi:

$x_{0.3}=x_2\left(4\text{s}\right)=6\text{m}$  

Ponadto ruch ciała rozważamy od czasu:

$t_3=4\text{s}$  

$v_{0.3}=v_3=2\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Zatem zależność położenia od czasu na tym etapie ruchu wynosi:

$x_{3,4}\left(t\right)=x_{0.3}+v_{0.3}\left(t-t_3\right)+\frac{1}{2}{a}_1{\left(t-t_3\right)}^2\text{, }t\in \left(4\text{s},6\text{s}\right]$  

$x_{3,4}\left(t\right)=6\text{m}+2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(t-4\text{s}\right)+\frac{1}{2}\cdot \left(-2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)\cdot {\left(t-4\text{s}\right)}^2\text{, }t\in \left(4\text{s},6\text{s}\right]$  

$x_{3,4}\left(t\right)=6\text{m}+2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(t-4\text{s}\right)-1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(t-4\text{s}\right)}^2\text{, }t\in \left(4\text{s},6\text{s}\right]$  

Wówczas otrzymamy, że położenie ciała w 5 s ruchu oraz 6 s ruchu ma postać:

$x_{3,4}\left(5\text{s}\right)=6\text{m}+2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(5\text{s}-4\text{s}\right)-1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(5\text{s}-4\text{s}\right)}^2=$  

$=6\text{m}+2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 1\text{s}-1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(1\text{s}\right)}^2=$  

$=6\text{m}+2\text{m}-1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1{\text{s}}^2=6\text{m}+2\text{m}-1\text{m}=7\text{m}$  

$x_{3,4}\left(6\text{s}\right)=6\text{m}+2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(6\text{s}-4\text{s}\right)-1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(6\text{s}-4\text{s}\right)}^2=$  

$=6\text{m}+2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2\text{s}-1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(2\text{s}\right)}^2=$  

$=6\text{m}+4\text{m}-1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 4{\text{s}}^2=6\text{m}+4\text{m}-4\text{m}=6\text{m}$  

▶ etap 5: od 6 s ruchu do 7 s ruchu:

Na tym etapie ciało porusza się ze stała wartością prędkości o współrzędnej:

$v_{0.5}=-2\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Jego położenie początkowe wynosi:

$x_{0.5}=x_{3,4}\left(6\text{s}\right)=6\text{m}$  

Ponadto ruch ciała rozważamy od czasu:

$t_4=6\text{s}$  

Wówczas otrzymamy, że jego zależność położenia od czasu ma postać:

$x_5\left(t\right)=x_{0.5}+v_{0.5}\left(t-t_4\right)\text{, }t\in \left(6\text{s},7\text{s}\right]$    

$x_5\left(t\right)=6\text{m}+\left(-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)\cdot \left(t-6\text{s}\right)\text{, }t\in \left(6\text{s},7\text{s}\right]$    

$x_5\left(t\right)=6\text{m}-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(t-6\text{s}\right)\text{, }t\in \left(6\text{s},7\text{s}\right]$    

Wówczas otrzymamy, że położenie ciała w 7 s ruchu ma postać:

$x_5\left(7\text{s}\right)=6\text{m}-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(7\text{s}-6\text{s}\right)=6\text{m}-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 1\text{s}=$    

$=6\text{m}-2\text{m}=4\text{m}$  

▶ etap 6: od 7 s ruchu do 9 s ruchu:

Wówczas ciało porusza się z przyspieszeniem o współrzędnej:

$a_6=1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Jego początkowe położenie wynosi:

$x_{0.6}=x_5\left(7\text{s}\right)=4\text{m}$  

Ponadto ruch ciała rozważamy od czasu:

$t_5=7\text{s}$  

$v_{0.6}=-2\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Zatem zależność położenia od czasu na tym etapie ruchu wynosi

$x_6\left(t\right)=x_{0.6}+v_{0.6}\left(t-t_5\right)+\frac{1}{2}{a}_6{\left(t-t_5\right)}^2\text{, }t\in \left(7\text{s},9\text{s}\right]$  

$x_6\left(t\right)=4\text{m}+\left(-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)\cdot \left(t-7\text{s}\right)+\frac{1}{2}\cdot 1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(t-7\text{s}\right)}^2\text{, }t\in \left(7\text{s},9\text{s}\right]$  

$x_6\left(t\right)=4\text{m}-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(t-7\text{s}\right)+0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(t-7\text{s}\right)}^2\text{, }t\in \left(7\text{s},9\text{s}\right]$  

Wówczas otrzymamy, że położenie ciała w 8 s ruchu oraz 9 s ruchu ma postać:

$x_6\left(8\text{s}\right)=4\text{m}-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(8\text{s}-7\text{s}\right)+0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(8\text{s}-7\text{s}\right)}^2=$  

$=4\text{m}-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 1\text{s}+0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(1\text{s}\right)}^2=4\text{m}-2\text{m}+0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1{\text{s}}^2=$  

$4\text{m}-2\text{m}+0,5\text{m}=2,5\text{m}$  

$x_6\left(9\text{s}\right)=4\text{m}-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \left(9\text{s}-7\text{s}\right)+0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(9\text{s}-7\text{s}\right)}^2=$  

$=4\text{m}-2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2\text{s}+0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(2\text{s}\right)}^2=4\text{m}-4\text{m}+0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 4{\text{s}}^2=$  

$4\text{m}-4\text{m}+2\text{m}=2\text{m}$  

Wówczas tabela będzie miała postać:

Wykres zależności położenia od czasu będzie miał postać:

 

$c)$