Jaką pracę należy wykonać, aby...

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

Praca jaka zostanie wykonana przez satelitę wznoszącą się na orbite Ziemi sumą energi potencjalnej grawitacji na powierzchni Ziemi oraz kinetycznej potrezbnej do wzniesienia się ciała na orbitę. Natomiast praca jaką należy wykonać nad satelitą jest przeciwna do pracy jaką wykona satelita wznosząc się na orbitę. Oznacza to, że możemy zapisać:

gdzie W jest pracą, E_k jest energia kinetczną, E_p jest energia potencjlaną. Energie kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

gdzie E_k jest energia kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. W naszym przypadku sateloita, która wznosi sie na orbitę będzie poruszała się z pierwszą prędkością kosmiczną. Pierwsza prędkość kosmiczna jest to prędkość, jaką należałoby nadać ciału w kierunku poziomym, aby obiegało ciało niebieskie po orbicie kołowej w minimalnej odległości od jego powierzchni. Pierwszą prędkość kosmiczną przedstawiamy za pomocą wzoru:

gdzie G jest stałą grawitacji, M jest masą ciała niebieskiego, R jest promieniem orbity kołowej po jakiej porusza się ciało. Pierwsza prędkość kosmiczna dla satelity okrążającego Ziemię będzie miała postać:

gdzie M_Z jest masą Ziemi, r jest odległością satelity od środka Ziemi. Odległość satelity od środka Ziemi będzie sumą odległości satelity od powierzchni Ziemi d oraz promienia Ziemi R_Z:

Wówczas otrzymujemy, że energia kinetyczna satelity będzie miała postać:

Potencjałem pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie pola nazywamy iloraz energii potencjalnej ciała umieszczonego w tym punkcie i jego masy:

gdzie V(r) jest potencjałam, E_p jest energia potencjalną, m jest masą ciała umieszczonego w punkcie, w którym badamy potencjał ciała. Z tego wynika, że energia potencjalna gwiazd krążących wokół wspólnego środka masy będzie miała postać:

Potencjał pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie przedstawiamy za pomocą wzoru:

gdzie G jest stałą grawitacji, V(r) jest potencjałem pola grawitacyjnego pochodzącym od ciała o masie M w odległości r od tego ciał. Z tego wynika, że energia potencjalna układu będzie miała postać:

Energia potencjalna satelity znajdującej się na powierzchni Ziemi będzie miała postać:

Wówczas praca wykonana przy wystrzeleniu satelity na orbitę będzie miała postać:

Wiemy, że przyspieszenie grawitacyjne g to przyspieszenie, z jakim porusza się ciało, na które działa wyłącznie siła grawitacji. Przedstawiamy je za pomocą wzoru:

gdzie g jest przyspieszeniem grawitacyjnym, M jest masą planety, na której badamy przyspieszenie grawitacyjne, r jest odległością od środka planety w jakiej badamy przyspieszenie grawitacyjne, G jest stałą grawitacyjną. Przyspieszenie grawitacyjne Ziemi ma postać:

Wówczas pracę możemy zapisać jako:

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru: