Jaką pracę należy wykonać, aby...

Dane:

Szukane:

Rozwiązanie:

Praca wykonana przez rakietę będzie równa zmianie energii mechanicznych rakiety. Rakieta znajduje się na Ziemi, czyli na początku rakieta posiada tylko pewną energię potencjalną grawitacji . Rakieta nie porusza się po Ziemi, czyli na początku nie ma energii kinetycznej. Wówczas całkowita energia mechaniczna rakiety na Ziemi wynosi:

Rakieta zostaje wystrzelona i na końcu posiada pewną energie grawitacji na wysokości d nad Ziemią  oraz energię kinetyczną, wynikającą z ruchu satelity wokół Ziemi . Wówczas całkowita energia mechaniczna rakiety na wysokości d nad Ziemią wynosi:

Energia potencjalna grawitacji wyrażana jest wzorem:

gdzie  jest stałą grawitacji,  jest masą planety, a jakiej badamy energię,  jest masą ciała, dla którego badamy energię,  jest odległością ciała od planety. Dla ciała znajdującego się na Ziemi energia potencjalna ma postać:

Natomiast dla ciała znajdującego się na pewnej wysokości na Ziemią energia potencjalna ma postać:

Energie kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

gdzie E_k jest energia kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. W naszym przypadku satelita, która wznosi się na orbitę będzie poruszała się z pierwszą prędkością kosmiczną. Pierwsza prędkość kosmiczna jest to prędkość, jaką należałoby nadać ciału w kierunku poziomym, aby obiegało ciało niebieskie po orbicie kołowej w minimalnej odległości od jego powierzchni. Pierwsza prędkość kosmiczna dla satelity okrążającego Ziemię będzie miała postać:

gdzie  jest masą Ziemi,  jest odległością satelity od środka Ziemi. Wówczas otrzymujemy, że energia kinetyczna satelity będzie miała postać:

Zatem praca potrzebna na wzniesienie rakiety na orbitę okołoziemską wynosi:

Wiemy, że przyspieszenie grawitacyjne  to przyspieszenie, z jakim porusza się ciało, na które działa wyłącznie siła grawitacji. Dla Ziemi przedstawiamy je za pomocą wzoru:

gdzie  jest przyspieszeniem grawitacyjnym,  jest masą Ziemi,  jest odległością od środka Ziemi do jej powierzchni,  jest stałą grawitacyjną. Wówczas pracę możemy zapisać jako:

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru: