$1.1.$  

Na sondę krążącą po orbicie planetoidy będzie oddziaływała siła grawitacji, która będzie równoważyła siłę odśrodkową. Siłę oddziaływania grawitacyjnego przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_g=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$  

gdzie F_g jest siła oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami o masach m₁ i m₂, które znajdują się w odległości r od siebie, G jest stałą grawitacyjną. W naszym przypadku oddziałującymi ze sobą ciałami jest sonda o masie m i planetoida o masie M, które znajdują się w odległości r od siebie. Wówczas dla naszego przypadku siła grawitacji będzie miała postać:

$F_g=G\frac{mM}{r^2}$  

Siłę odśrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_{od}=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie F_od jest siłą odśrodkową działającą na ciało o masie m poruszające się z prędkością liniową po okręgu o promieniu r. Dla naszego przypadku siła odśrodkowa działająca na sondę poruszającą się po orbicie planetoidy ma postać:

$F_{od}=\frac{m{v}^2}{r}$   

Wiemy, że prędkość liniową w zależności od prędkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v=\omega r$  

gdzie v jest prędkością liniową ciała, ω jest prędkością kątową ciała, r jest promieniem okręgu po jakim porusza się ciało. Prędkość kątową ciała w zależności od okresu jego ruchu przedstawiamy wzorem:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

gdzie ω jest prędkością kątową, T jest okresem ruchu ciała. Wówczas porównując wzory na siły grawitacji i odśrodkową wyznaczamy masę planetoidy:

$F_g=F_{od}$  

$G\frac{mM}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}\mid :m$    

$G\frac{M}{r^2}=\frac{v^2}{r}\mid \cdot r^2$    

$GM=v^{2}r$    

$GM={\left(\omega r\right)}^{2}r$    

$GM={\omega }^2{r}^{2}r$    

$GM={\omega }^2{r}^3\mid :G$    

$M=\frac{{\omega }^2{r}^3}{G}$    

$M=\frac{{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2{r}^3}{G}$    

$M=\frac{\frac{4{\pi }^2}{T^2}{r}^3}{G}$    

$M=\frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}$  

Przyjmując, że planetoida jest kulą o promieniu R jej objętość możemy przedstawić wzorem:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$  

Gęstość ciała obliczamy korzystając z wzoru:

$\rho =\frac{m}{V}$  

gdzie ρ jest gęstością ciała, m jest jego masą, V jest jego objętością. Wówczas otrzymujemy, że gęstość planetoidy wynosi:

$\rho =\frac{M}{V}$  

$\rho =\frac{\frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}{\frac{4}{3}\pi R^3}$  

$\rho =\frac{\frac{\pi r^3}{G{T}^2}}{\frac{1}{3}{R}^3}$  

$\rho =\frac{3\pi r^3}{G{T}^2{R}^3}$  

gdzie r jest promieniem orbity planetoidy, G jest stałą grawitacyjną, T jest okresem obrotu sondy wokół planetoidy, R jest promieniem planetoidy.

 

$1.2.$  

W tabeli podano liczbę okrążeń oraz czas trwania tych okrążeń. Oznaczmy sobie liczbę okrążeń jako n, a czas trwania ruchu jako t. Pytamy o okres ruchu, czyli czas trwania jednego okrążenie. Korzystając z metody proporcji możemy zapisać, że:

$\begin{array}{l}n----t\\ 1----T\end{array}$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$T=\frac{t}{n}$  

Wówczas dla poszczególnych promieni orbity otrzymujemy:

$\text{dla }{R}_1=3001km\text{ mamy: }{n}_1=7\text{ i }{t}_1=3\text{tygodnie}=21\text{dni}$  

$\text{ woˊwczas: }{T}_1=\frac{t_1}{n_1}\Rightarrow T_1=\frac{21\text{dni}}{7}=3\text{dni}$  

$\text{dla }{R}_2=941km\text{ mamy: }{n}_2=2\text{ i }{t}_2=1\text{dzienˊ}=24h$  

$\text{ woˊwczas: }{T}_2=\frac{t_2}{n_2}\Rightarrow T_2=\frac{24h}{2}=12h$  

$\text{dla }{R}_3=442km\text{ mamy: }{n}_3=1\text{ i }{t}_3=4h$  

$\text{ woˊwczas: }{T}_3=\frac{t_3}{n_3}\Rightarrow T_3=\frac{4h}{1}=4h$  

 

$1.3.$  

W podpunkcie podane mamy, że:

$R=265km=265\cdot {10}^{3}m=2,65\cdot {10}^{5}m$

Przyjmujemy, że stała grawitacji wynosi:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}$  

Z podpunktu 1.1. wiemy, że gęstość planetoidy możemy obliczyć ze wzoru:

$\rho =\frac{3\pi r^3}{G{T}^2{R}^3}$  

gdzie r jest promieniem orbity planetoidy, G jest stałą grawitacyjną, T jest okresem obrotu sondy wokół planetoidy, R jest promieniem planetoidy. Z tego wynika, że dla poszczególnych promieni orbity otrzymujemy:

$\text{dla orbity 1: }{r}_1=3001km=3001\cdot {10}^{3}m=3,001\cdot {10}^{6}m\text{ oraz }{T}_1=3\text{dni}=72h=259200s=2,592\cdot {10}^{5}s$  

$\text{woˊwczas mamy: }{\rho }_1=\frac{3\pi r_1^3}{G{T}_1^2{R}^3}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\rho }_1=\frac{3\cdot 3,14\cdot {\left(3,001\cdot {10}^{6}m\right)}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}\cdot {\left(2,592\cdot {10}^{5}s\right)}^2\cdot {\left(2,65\cdot {10}^{5}m\right)}^3}\approx \frac{3\cdot 3,14\cdot 27\cdot {10}^{18}{m}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}\cdot 6,718\cdot {10}^{10}{s}^2\cdot 18,6\cdot {10}^{15}{m}^3}\approx$   

$\approx \frac{254,34\cdot {10}^{18}{m}^3}{833,4\cdot {10}^{14}\frac{N\cdot s^2\cdot m^5}{k{g}^2}}=\frac{254,34\cdot {10}^{18}{m}^3}{83,34\cdot {10}^{15}\frac{kg\cdot \frac{m}{s^2}\cdot s^2\cdot m^5}{k{g}^2}}=\frac{254,34\cdot {10}^{18}{m}^3}{83,34\cdot {10}^{15}\frac{m^6}{kg}}\approx 3,052\cdot {10}^3\frac{kg}{m^3}=3,052\cdot {10}^3\cdot \frac{{10}^{3}g}{{10}^{6}c{m}^3}\approx 3,1\frac{g}{c{m}^3}$  

$\text{dla orbity 2: }{r}_2=941km=941\cdot {10}^{3}m=9,41\cdot {10}^{5}m\text{ oraz }{T}_2=12h=43200s=4,32\cdot {10}^{4}s$  

$\text{woˊwczas mamy: }{\rho }_2=\frac{3\pi r_2^3}{G{T}_2^2{R}^3}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\rho }_2=\frac{3\cdot 3,14\cdot {\left(9,41\cdot {10}^{5}m\right)}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}\cdot {\left(4,32\cdot {10}^{4}s\right)}^2\cdot {\left(2,65\cdot {10}^{5}m\right)}^3}\approx \frac{3\cdot 3,14\cdot 833\cdot {10}^{15}{m}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}\cdot 18,6624\cdot {10}^8{s}^2\cdot 18,6\cdot {10}^{15}{m}^3}\approx$   

$\approx \frac{7846,86\cdot {10}^{15}{m}^3}{2315\cdot {10}^{12}\frac{N\cdot s^2\cdot m^5}{k{g}^2}}=\frac{7,84686\cdot {10}^{18}{m}^3}{2,315\cdot {10}^{15}\frac{kg\cdot \frac{m}{s^2}\cdot s^2\cdot m^5}{k{g}^2}}=\frac{7,84686\cdot {10}^{18}{m}^3}{2,315\cdot {10}^{15}\frac{m^6}{kg}}\approx 3,38957\cdot {10}^3\frac{kg}{m^3}=3,38957\cdot {10}^3\cdot \frac{{10}^{3}g}{{10}^{6}c{m}^3}\approx 3,4\frac{g}{c{m}^3}$  

$\text{dla orbity 3: }{r}_3=442km=442\cdot {10}^{3}m=4,42\cdot {10}^{5}m\text{ oraz }{T}_3=4h=14400s=1,44\cdot {10}^{4}s$  

$\text{woˊwczas mamy: }{\rho }_3=\frac{3\pi r_3^3}{G{T}_3^2{R}^3}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\rho }_3=\frac{3\cdot 3,14\cdot {\left(4,42\cdot {10}^{5}m\right)}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}\cdot {\left(1,44\cdot {10}^{4}s\right)}^2\cdot {\left(2,65\cdot {10}^{5}m\right)}^3}\approx \frac{3\cdot 3,14\cdot 86,35\cdot {10}^{15}{m}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}\cdot 2,0736\cdot {10}^8{s}^2\cdot 18,6\cdot {10}^{15}{m}^3}\approx$   

$\approx \frac{813,417\cdot {10}^{15}{m}^3}{257\cdot {10}^{12}\frac{N\cdot s^2\cdot m^5}{k{g}^2}}=\frac{8,13417\cdot {10}^{17}{m}^3}{2,57\cdot {10}^{14}\frac{kg\cdot \frac{m}{s^2}\cdot s^2\cdot m^5}{k{g}^2}}=\frac{8,13417\cdot {10}^{17}{m}^3}{2,57\cdot {10}^{14}\frac{m^6}{kg}}\approx 3,165\cdot {10}^3\frac{kg}{m^3}=3,165\cdot {10}^3\cdot \frac{{10}^{3}g}{{10}^{6}c{m}^3}\approx 3,2\frac{g}{c{m}^3}$  

Obliczamy średnią gęstość planetoidy:

${\rho }_{\text{sˊr}}=\frac{{\rho }_1+{\rho }_2+{\rho }_3}{3}$   

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\rho }_{\text{sˊr}}=\frac{3,1\frac{g}{c{m}^3}+3,4\frac{g}{c}{m}^3+3,2\frac{g}{c{m}^3}}{3}=\frac{9,7\frac{g}{c{m}^3}}{3}\approx 3,23333\frac{g}{c{m}^3}\approx 3,2\frac{g}{c{m}^3}$  

 

Uzupełniamy tabelę:

Orbita	Promień orbity  $r\left[km\right]$	Okres	Gęstość   $\left[\frac{g}{c{m}^3}\right]$
1.Biegunowa	3 001	3 dni	3,1
2.	941	12 h	3,4
3. Niska	442	4 h	3,2

 

$1.4.$  

Otrzymana gęstość średnia to:

${\rho }_{\text{sˊr}}=3,2\frac{g}{c{m}^3}$  

W zadaniu podano, że gęstość Westy wynosi:

$\rho =\left(3,3\pm 0,5\right)\frac{g}{c{m}^3}$  

Sprawdzamy, czy otrzymana wartość mieści się w granicach błędu pomiaru:

${\rho }_{\text{min}}=3,3\frac{g}{c{m}^3}-0,5\frac{g}{c{m}^3}=2,8\frac{g}{c{m}^3}$   

${\rho }_{\text{max}}=3,3\frac{g}{c{m}^3}+0,5\frac{g}{c{m}^3}=3,8\frac{g}{c{m}^3}$  

Zauważmy, że:

${\rho }_{\text{min}}<{\rho }_{\text{sˊr}}<{\rho }_{\text{max}}$  

Z tego wynika, że otrzymana wartość zgadza się w granicach błędu z wartością wyznaczoną na podstawie obserwacji.