Zrozumieć fizykę. Zbiór zadań 2. Zakres rozszerzony (Zbiór zadań, Nowa Era)

Sonda Dawn przez rok krążyła... 4.34 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Fizyka

Sonda Dawn przez rok krążyła...

Zadanie 1. Planetoida Westa
 Zadanie

`1.1.` 

Na sondę krążącą po orbicie planetoidy będzie oddziaływała siła grawitacji, która będzie równoważyła siłę odśrodkową. Siłę oddziaływania grawitacyjnego przedstawiamy za pomocą wzoru:

`F_g = G (m_1 m_2)/r^2` 

gdzie Fg jest siła oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami o masach m1 i m2, które znajdują się w odległości r od siebie, G jest stałą grawitacyjną. W naszym przypadku oddziałującymi ze sobą ciałami jest sonda o masie m i planetoida o masie M, które znajdują się w odległości r od siebie. Wówczas dla naszego przypadku siła grawitacji będzie miała postać:

`F_g = G  (m   M)/r^2` 

Siłę odśrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

`F_(od) = (m v^2)/r` 

gdzie Fod jest siłą odśrodkową działającą na ciało o masie m poruszające się z prędkością liniową po okręgu o promieniu r. Dla naszego przypadku siła odśrodkowa działająca na sondę poruszającą się po orbicie planetoidy ma postać:

`F_(od) = (m  v^2)/r`  

Wiemy, że prędkość liniową w zależności od prędkości kątowej przedstawiamy wzorem:

`v = omega  r` 

gdzie v jest prędkością liniową ciała, ω jest prędkością kątową ciała, r jest promieniem okręgu po jakim porusza się ciało. Prędkość kątową ciała w zależności od okresu jego ruchu przedstawiamy wzorem:

`omega = (2 pi)/T` 

gdzie ω jest prędkością kątową, T jest okresem ruchu ciała. Wówczas porównując wzory na siły grawitacji i odśrodkową wyznaczamy masę planetoidy:

`F_g = F_(od)` 

`G (m  M)/r^2 = (m  v^2)/r \ \ \ \ \ \ |:m`   

`G  M/r^2 = v^2/r  \ \ \ \ \ \ \ |*r^2`   

`G  M = v^2  r`   

`G  M = (omega  r)^2  r`   

`G  M = omega^2  r^2  r`   

`G  M = omega^2  r^3 \ \ \ \ \ \ |:G`   

`M = (omega^2  r^3)/G`   

`M = (((2 pi)/T)^2  r^3)/G`   

`M = ((4 pi^2)/T^2  r^3)/G`   

`M = (4 pi^2  r^3)/(G  T^2)` 

Przyjmując, że planetoida jest kulą o promieniu R jej objętość możemy przedstawić wzorem:

`V = 4/3  pi  R^3` 

Gęstość ciała obliczamy korzystając z wzoru:

`rho = m/V` 

gdzie ρ jest gęstością ciała, m jest jego masą, V jest jego objętością. Wówczas otrzymujemy, że gęstość planetoidy wynosi:

`rho = M/V` 

`rho = ((4 pi^2  r^3)/(G  T^2))/(4/3  pi  R^3)` 

`rho = ((pi  r^3)/(G  T^2))/(1/3   R^3)` 

`rho = (3 pi  r^3)/(G  T^2  R^3)` 

gdzie r jest promieniem orbity planetoidy, G jest stałą grawitacyjną, T jest okresem obrotu sondy wokół planetoidy, R jest promieniem planetoidy.

 

`1.2.` 

W tabeli podano liczbę okrążeń oraz czas trwania tych okrążeń. Oznaczmy sobie liczbę okrążeń jako n, a czas trwania ruchu jako t. Pytamy o okres ruchu, czyli czas trwania jednego okrążenie. Korzystając z metody proporcji możemy zapisać, że:

`{:(n \ ---- \ t),(1 \ ----\ T):}` 

Wówczas otrzymujemy, że:

`T = t/n` 

Wówczas dla poszczególnych promieni orbity otrzymujemy:

`"dla " R_1 = 3 001\ km  "  mamy: " n_1=7 " i " t_1 = 3\  "tygodnie" = 21\ "dni"` 

`"  wówczas: " T_1 = t_1/n_1 \ \ =>\ \ T_1 = (21\ "dni")/(7) = 3\ "dni"` 

`"dla " R_2 = 941\ km  "  mamy: " n_2=2 " i " t_2 = 1\  "dzień" = 24\ h` 

`"  wówczas: " T_2 = t_2/n_2 \ \ =>\ \ T_2 = (24\ h)/(2) = 12\ h` 

`"dla " R_3 = 442\ km  "  mamy: " n_3=1 " i " t_3 = 4\ h` 

`"  wówczas: " T_3 = t_3/n_3 \ \ =>\ \ T_3 = (4\ h)/(1) = 4\ h` 

 

`1.3.` 

W podpunkcie podane mamy, że:

`R = 265\ km = 265*10^3\ m = 2,65*10^5\ m`

Przyjmujemy, że stała grawitacji wynosi:

`G = 6,67*10^-11\ (N*m^2)/(kg^2)` 

Z podpunktu 1.1. wiemy, że gęstość planetoidy możemy obliczyć ze wzoru:

`rho = (3 pi  r^3)/(G  T^2  R^3)` 

gdzie r jest promieniem orbity planetoidy, G jest stałą grawitacyjną, T jest okresem obrotu sondy wokół planetoidy, R jest promieniem planetoidy. Z tego wynika, że dla poszczególnych promieni orbity otrzymujemy:

`"dla orbity 1: " r_1 = 3001\ km = 3 001*10^3\ m = 3,001*10^6\ m "  oraz  " T_1 = 3\ "dni" = 72\ h=259 200\ s=2,592*10^5\ s` 

`"wówczas mamy: " rho_1 = (3 pi r_1^3)/(G  T_1^2 R^3)` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`rho_1 = (3*3,14 * (3,001*10^6\ m)^3)/(6,67*10^-11\ (N * m^2)/(kg^2) * (2,592*10^5\ s)^2 * (2,65*10^5\ m)^3 ) ~~ (3*3,14*27*10^18\ m^3)/(6,67*10^-11\ (N*m^2)/(kg^2) * 6,718*10^10\ s^2 * 18,6*10^15\ m^3 ) ~~`  

`\ \ \ ~~ (254,34*10^18\ m^3)/(833,4*10^14\ (N*s^2*m^5)/(kg^2)) = (254,34*10^18\ m^3)/(83,34*10^15\ (kg*m/s^2*s^2*m^5)/(kg^2)) =(254,34*10^18\ m^3)/(83,34*10^15\ (m^6)/(kg)) ~~3,052*10^3\ (kg)/m^3=3,052*10^3*(10^3\ g)/(10^6\ cm^3)~~3,1\ g/(cm^3)` 

`"dla orbity 2: " r_2 = 941\ km = 941*10^3\ m = 9,41*10^5\ m "  oraz  " T_2 = 12\ h =43200\ s=4,32*10^4\ s` 

`"wówczas mamy: " rho_2 = (3 pi r_2^3)/(G  T_2^2 R^3)` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`rho_2 = (3*3,14 * ( 9,41*10^5\ m)^3)/(6,67*10^-11\ (N * m^2)/(kg^2) * (4,32*10^4\ s)^2 * (2,65*10^5\ m)^3 ) ~~ (3*3,14*833*10^15\ m^3)/(6,67*10^-11\ (N*m^2)/(kg^2) * 18,6624*10^8\ s^2 * 18,6*10^15\ m^3 ) ~~`  

`\ \ \ ~~ (7846,86*10^15\ m^3)/(2315*10^12\ (N*s^2*m^5)/(kg^2)) = (7,84686*10^18\ m^3)/(2,315*10^15\ (kg*m/s^2*s^2*m^5)/(kg^2)) =(7,84686*10^18\ m^3)/(2,315*10^15\ (m^6)/(kg)) ~~3,38957*10^3\ (kg)/m^3=3,38957*10^3*(10^3\ g)/(10^6\ cm^3)~~3,4\ g/(cm^3)` 

`"dla orbity 3: " r_3 = 442\ km = 442*10^3\ m = 4,42*10^5\ m "  oraz  " T_3 = 4\ h =14400\ s=1,44*10^4\ s` 

`"wówczas mamy: " rho_3 = (3 pi r_3^3)/(G  T_3^2 R^3)` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`rho_3 = (3*3,14 * ( 4,42*10^5\ m)^3)/(6,67*10^-11\ (N * m^2)/(kg^2) * (1,44*10^4\ s)^2 * (2,65*10^5\ m)^3 ) ~~ (3*3,14*86,35*10^15\ m^3)/(6,67*10^-11\ (N*m^2)/(kg^2) * 2,0736*10^8\ s^2 * 18,6*10^15\ m^3 ) ~~`  

`\ \ \ ~~ (813,417*10^15\ m^3)/(257*10^12\ (N*s^2*m^5)/(kg^2)) = (8,13417*10^17\ m^3)/(2,57*10^14\ (kg*m/s^2*s^2*m^5)/(kg^2)) =(8,13417*10^17\ m^3)/(2,57*10^14\ (m^6)/(kg)) ~~3,165*10^3\ (kg)/m^3=3,165*10^3*(10^3\ g)/(10^6\ cm^3)~~3,2\ g/(cm^3)` 

Obliczamy średnią gęstość planetoidy:

`rho_"śr" = (rho_1+rho_2+rho_3)/3`  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`rho_"śr" = (3,1\ g/(cm^3) + 3,4\ g/cm^3 + 3,2\ g/(cm^3))/3 = (9,7\ g/(cm^3))/3~~3,23333\ g/(cm^3) ~~3,2\ g/(cm^3)` 

 

Uzupełniamy tabelę:

Orbita Promień orbity `r\  [km]`  Okres Gęstość  `[g/(cm^3)]` 
1.Biegunowa  3 001  3 dni 3,1 
2. 941  12 h  3,4 
3. Niska   442  4 h  3,2 

 

`1.4.` 

Otrzymana gęstość średnia to:

`rho_"śr" =3,2\ g/(cm^3)` 

W zadaniu podano, że gęstość Westy wynosi:

`rho = (3,3+-0,5)\ g/(cm^3)` 

Sprawdzamy, czy otrzymana wartość mieści się w granicach błędu pomiaru:

`rho_"min" = 3,3\ g/(cm^3) - 0,5\ g/(cm^3)=2,8\ g/(cm^3)`  

`rho_"max" = 3,3\ g/(cm^3) + 0,5\ g/(cm^3) = 3,8\ g/(cm^3)` 

Zauważmy, że:

`rho_"min" < rho_"śr" < rho_"max"` 

Z tego wynika, że otrzymana wartość zgadza się w granicach błędu z wartością wyznaczoną na podstawie obserwacji.

DYSKUSJA
user profile image
Rafał

10 marca 2018
Dzięki
Informacje
Autorzy: Bogdan Mendel, Janusz Mendel, Teresa Stolecka, Elżbieta Wójtowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Odejmowanie pisemne
  1. Zapisujemy odjemną, a pod nią odjemnik, wyrównując ich cyfry do prawej strony.

    odejmowanie1
     
  2. Odejmowanie prowadzimy od strony prawej do lewej. Najpierw odejmujemy jedności, w naszym przykładzie mamy 3 - 9. Jeśli jedności odjemnej są mniejsze od jedności odjemnika (a tak jest w naszym przykładzie), wtedy z dziesiątek przenosimy jedną (lub więcej) „dziesiątkę” do jedności i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie wygląda to następująco: od 3 nie możemy odjąć 9, więc przenosimy (pożyczamy) jedną dziesiątkę z siedmiu dziesiątek i otrzymujemy 13 – 9 = 4, czyli pod cyframi jedności zapisujemy 4, a nad cyframi dziesiątek zapisujemy ilość dziesiątek które nam zostały czyli 6 (bo od siedmiu dziesiątek pożyczyliśmy jedną, czyli zostało nam sześć dziesiątek).

    odejmowanie2
     
  3. Odejmujemy dziesiątki, a następnie zapisujemy wynik pod cyframi dziesiątek. Gdy dziesiątki odjemnej są mniejsze od dziesiątek odjemnika, z setek przenosimy jedną (lub więcej) „setkę” do dziesiątek i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie mamy: 6 – 6 = 0, czyli pod cyframi dziesiątek zapisujemy 0.

    odejmowanie2
     
  4. Odejmujemy setki, a następnie wynik zapisujemy pod cyframi setek. Gdy setki odjemnej są mniejsze od setek odjemnika, z tysięcy przenosimy jeden (lub więcej) „tysiąc” do setek i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie mamy: 2 – 1 = 1, czyli pod cyframi setek zapisujemy 1.

    odejmowanie3
     
  5. W rezultacie opisanego postępowania otrzymujemy wynik odejmowania pisemnego. W naszym przykładzie różnicą liczb 273 i 169 jest liczba 104.


Dla utrwalenia przeanalizujmy jeszcze jeden przykład odejmowania pisemnego.

Wykonamy pisemnie odejmowanie: 4071 - 956.

  1. Zapisujemy odjemną, a pod nią odjemnik.

    odejmowanie11
     
  2. Odejmujemy jedności: od 1 nie możemy odjąć 6, więc pożyczamy jedną dziesiątkę z siedmiu i otrzymujemy 11 – 6 = 5, czyli pod cyframi jedności zapisujemy 5, natomiast nad cyframi dziesiątek wpisujemy 6 (bo od siedmiu dziesiątek pożyczyliśmy jedną, czyli zostaje sześć dziesiątek).

    odejmowanie12
     
  3. Odejmujemy dziesiątki: 6 – 5 = 1, czyli pod cyframi dziesiątek wpisujemy 1.

    odejmowanie13
     
  4. Odejmujemy setki: od 0 nie możemy odjąć 9, więc pożyczamy jeden tysiąc i rozmieniamy go na 10 setek (bo jeden tysiąc to dziesięć setek) i otrzymujemy 10 – 9 = 1, czyli pod cyframi setek wpisujemy 1, a nad cyframi tysięcy wpisujemy 3, bo tyle tysięcy zostało.

    odejmowanie14
     
  5. Odejmujemy tysiące: w naszym przykładzie mamy 3 – 0 = 3 i wynik zapisujemy pod cyframi tysięcy.

    odejmowanie15
     
  6. Wynik naszego odejmowania: 4071 – 956 = 3115.

Kolejność wykonywania działań

Przy rozwiązywaniu bardziej skomplikowanego działania, najważniejsze jest zachowanie kolejności wykonywania działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. Wykonywanie działań w nawiasach;

  2. Potęgowanie i pierwiastkowanie;

  3. Mnożenie i dzielenie (jeżeli w działaniu występuje dzielenie lub zarówno mnożenie, jak i dzielenie, to działania wykonujemy w kolejności w jakiej są zapisane od lewej do prawej strony).
    Przykład: $$16÷2•5=8•5=40$$;

  4. Dodawanie i odejmowanie (jeżeli w działaniu występuje odejmowanie lub zarówno dodawanie, jak i odejmowanie, to działania wykonujemy w kolejności w jakiej są zapisane od lewej strony do prawej).
    Przykład: $$24 - 6 +2 = 18 + 2 = 20$$.

Przykład:

$$(45-9•3)-4=(45-27)-4=18-4=14 $$
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie