Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$R_Z=6371km=6371\cdot {10}^{3}m=6,371\cdot {10}^{6}m$  

$M_Z=5,97\cdot {10}^{24}kg$  

$R_K=1738km=1738\cdot {10}^{3}m=1,738\cdot {10}^{6}m$  

$M_K=7,35\cdot {10}^{22}kg$  

Przyjmujemy, że stała grawitacyjna oraz przyspieszenie ziemskie odpowiednio wynoszą:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}$    

$g=10\frac{m}{s^2}$   

 

$2.1.$  

W podpunkcie podane mamy, że:

$h_p=185km=185\cdot {10}^{3}m=1,85\cdot {10}^{5}m$  

$v_e=10,943\frac{km}{s}=10,943\cdot {10}^3\frac{m}{s}=1,0943\cdot {10}^4\frac{m}{s}$  

Na statek będzie działa siła grawitacji i siła odśrodkowa. Siłę grawitacji przedstawiamy wzorem:

$F_g=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$  

gdzie G jest stałą grawitacji, m₁ i m₂ są oddziałującymi ze sobą masami, r jest odległością pomiędzy środkami tych mas. Wówczas siłę grawitacji działającą na rakietę i ziemię przedstawiamy wzorem:

$F_g=G\cdot \frac{m{M}_Z}{{\left(R_Z+h_p\right)}^2}$    

Siłę odśrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_{od}=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie F_od jest siłą odśrodkową działającą na ciało o masie m poruszające się z prędkością liniową po okręgu o promieniu r. Wówczas siła odśrodkowa działająca na rakietę będzie miała postać:

$F_{od}=\frac{m{v}^2}{R_Z+h_p}$

Porównując siły oddziaływania do siebie otrzymujemy zależność, z której wyznaczamy prędkość nadawaną rakiecie przez silniki:

$F_{od}=F_g$  

$\frac{m{v}^2}{R_Z+h_p}=G\cdot \frac{m{M}_Z}{{\left(R_Z+h_p\right)}^2}\mid \cdot \left(R_Z+h_p\right)$

$m{v}^2=G\cdot \frac{m{M}_Z}{R_Z+h_p}\mid :m$

$v^2=\frac{G\cdot M_Z}{R_Z+h_p}\mid \sqrt{}$

$v=\sqrt{\frac{G\cdot M_Z}{R_Z+h_p}}$

Wówczas przyrost prędkości będzie wynosił:

$\Delta v=v_e-v$  

$\Delta v=v_e-\sqrt{\frac{G\cdot M_Z}{R_Z+h_p}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta v=1,0943\cdot {10}^4\frac{m}{s}-\sqrt{\frac{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}\cdot 5,97\cdot {10}^{24}kg}{6,371\cdot {10}^{6}m+1,85\cdot {10}^{5}m}}=1,0943\cdot {10}^4\frac{m}{s}-\sqrt{\frac{39,8199\cdot {10}^{13}\frac{N\cdot m^2}{kg}}{63,71\cdot {10}^{5}m+1,85\cdot {10}^{5}m}}=$  

$=1,0943\cdot {10}^4\frac{m}{s}-\sqrt{\frac{398,199\cdot {10}^{12}\frac{kg\cdot \frac{m^2}{s^2}}{kg}}{65,56\cdot {10}^{5}m}}=1,0943\cdot {10}^4\frac{m}{s}-\sqrt{\frac{398,199\cdot {10}^{12}\frac{m^3}{s^2}}{65,56\cdot {10}^{5}m}}\approx 1,0943\cdot {10}^4\frac{m}{s}-\sqrt{6,07381\cdot {10}^7\frac{m^2}{s^2}}=$