Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$h=35786km=35,786\cdot {10}^{6}m$  

$R_Z=6371km=6,371\cdot {10}^{6}m$  

$M_Z=5,97\cdot {10}^{14}kg$  

Przyjmujemy, że stała grawitacji wynosi:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}$  

 

$a)$  

Na satelitę GEO krążącego po orbicie Ziemi działa siła odśrodkowa i siła grawitacji. Siłę odśrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_{od}=\frac{m\cdot v^2}{r}$

gdzie F_od jest siłą odśrodkową ciała o masie m poruszającego się po okręgu o promieniu r z prędkością liniową v. Siłę grawitacji przedstawiamy wzorem:

$F_g=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$

gdzie G jest stałą grawitacji, m₁ i m₂ są oddziałującymi ze sobą masami, r jest odległością pomiędzy środkami tych mas. W naszym przypadku siła grawitacji będzie miała postać:

$F_g=G\cdot \frac{m\cdot M_Z}{r^2}$

Porównajmy te siły i wyznaczmy wartość prędkości z jaką porusza się satelita:

$F_{od}=F_g$

$\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{G\cdot m\cdot M_Z}{r^2}\mid :m$

$\frac{v^2}{r}=\frac{G\cdot M_Z}{r^2}\mid \cdot r$

$v^2=\frac{G\cdot M_Z}{r}\mid \sqrt{}$  

$v=\sqrt{\frac{G\cdot M_Z}{r}}$  

Zauważmy, że w naszym przypadku odległość satelity od Ziemi wynosi:

$r=h+R_Z$  

Wówczas prędkość tego satelity będzie miała postać:

$v=\sqrt{\frac{G\cdot M_Z}{r}}$  

$v=\sqrt{\frac{G\cdot M_Z}{h+R_Z}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\sqrt{\frac{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}\cdot 5,97\cdot {10}^{24}kg}{35,786\cdot {10}^{6}m+6,371\cdot {10}^{6}m}}=\sqrt{\frac{39,8199\cdot {10}^{13}\frac{N\cdot m^2}{kg}}{42,157\cdot {10}^{6}m}}=\sqrt{\frac{398,199\cdot {10}^{12}\frac{kg\cdot \frac{m}{s^2}\cdot m^2}{kg}}{42,157\cdot {10}^{6}m}}=\sqrt{\frac{398,199\cdot {10}^{12}\frac{m^3}{s^2}}{42,157\cdot {10}^{6}m}}\approx$     

$\approx \sqrt{9,446\cdot {10}^6\frac{m^2}{s^2}}\approx 3,0734\cdot {10}^3\frac{m}{s}=3,073\cdot {10}^3\cdot \frac{0,001km}{\frac{1}{3600}h}=11064,24\frac{km}{h}\approx 11064\frac{km}{h}$      

 

$b)$  

Pytamy o ile procent wynik otrzymany w punkcie a) różni się od zmierzonej prędkości satelity. W zadaniu podane mamy, że zmierzona prędkość satelity wynosi:

$v_{zm}=11037\frac{km}{s}$  

Korzystamy z metody proporcji:

$v----100\%$      

$v-v_{zm}----x$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$x=\frac{v-v_{zm}}{v}\cdot 100\%$  

$x=\frac{11064\frac{km}{h}-11037\frac{km}{h}}{11064\frac{km}{h}}\cdot 100\%=\frac{27\frac{km}{h}}{11064\frac{km}{h}}\cdot 100\%\approx 0,0024\cdot 100\%=0,24\%$