II gimnazjum

Matematyka wokół nas 2

Jeśli przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od przyprostokątnej zauważamy, że mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30°  i 60° .

Rozwiązanie 1

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/24199/UPtNgXrw1wHC2GN1OnC/Mw%3D%3D_bc664a66eaa79201bd2ebbbd00d27a2780f55f960391cbb6153843658862f630.jpg" width="372" height="209"> Miara jednego z kątów ostrych jest równa 1/6 miary kąta pełnego, czyli: 61​⋅360o=60o

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/24200/FLDNUvUXbraEHQjrva9lHg%3D%3D_a0595dd5bb1ed1ee40bcee86bc15399287fa66daf7da8d00e463aceea1407a38.jpg" width="196" height="269">  Trójkąt jest prostokątny miara jednego kąta ostrego jest równa 30°, więc miara drugiego kąta ostrego wynosi 60°.  180o−90o−30o=60o

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie. Z kolei długości boków w trójkącie o kątach 30°, 60° i 90° wyrażają się tak, jak napisano na rysunku (po prawej stronie). <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/24201/DuLYzEjIh29xXrGVbJfe8A%3D%3D_d576e01dcea8d84edb1e4942d779b172e3721c74687bd5644771b433abdda6f2.jpg" width="551" height="272">

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/24202/RlUuAPDk/J8kzuIxiRWKyA%3D%3D_cdf0a98002b9031f9c01686ab0d2ef2ac7365cd687515ef9c9a4521114f27042.jpg" width="216" height="217"> Trójkąt prostokątny jest równoramienny, więc miara dwóch kątów ostrych musi być taka sama i jest równa 45°. 180o−90o=90o    90o:2=45o

W zadaniu korzystamy z zależności w trójkątach 90°, 60° i 30° oraz 90°, 45° i 45°. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/27062/Pcrs3O5FwYhBov/O4P%2BCoQ%3D%3D_f55064ca6e508e45a898fa114536ab5877f7fbf09083afacba9774f343e5fa76.jpg" width="373" height="232">      a) 2y=6     y=3   x=y3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​   x=33<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​                   ​​   b) b=2⋅2

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/27063/EpXleRwuADGdimAVVQ0mhQ%3D%3D_e9b784f78a51b4c62f9f0fb9cdaddac896b9ca542a2349c2a70f0e2ef475cf61.jpg" width="452" height="305">  Wiemy, że: ∣∠CAB∣=60o   ∣∠ACB∣=75o   ∣CD∣=9 cm Wysokość CD jest poprowadzona na podstawę AB pod kątem prostym. Stąd: ∣∠CDA∣=∣∠BDC∣=90o   W trójkącie ADC (kolor fioletowy) znamy miary dwóch kątów 90° i 60°.  Stąd miara trzeciego kąta wynosi 30°: ∣∠ACD∣=30o     Kąt ACD razem z kątem DCB tworzą kąt ACB o mierze równej 75°. Znamy już miarę kąta ACD. Miarę kąta DCB obliczymy odejmując od 75° miarę kata ACD, czyli 30°. ∣∠DCB∣=75o−30o=45o

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/59498/Xda5eDv6UrxgV7Gkd5stA%3D%3D_a59971d2a610431e5ee314a44673f4099d542a48b069c084b9bc962565641d65.jpg" width="509" height="300"> Oznaczmy trójkąt rozwartokątny jako ABC (na rysunku zaznaczony kolorem fioletowym). Wiemy, że: ∣∠BAC∣=30o   ∣∠ACB∣=135o   ∣AB∣=18 cm   Najdłuższy odcinek leży naprzeciwko kąta o największej mierze.   Obliczmy miarę trzeciego kąta w trójkącie ABC: ∣∠ABC∣=180o−30o−135o