II gimnazjum

Matematyka wokół nas 2

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Skoro pole tego kwadratu wynosi 81 cm², to bok kwadratu ma długość 9 cm.  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/25313/53Oldlw%2BQnmCp4BVOqPQsQ%3D%3D_a7beb4040ed439e0a1f12d77839247474273aeee17dd6fb3683be2c8ee812040.jpg" width="296" height="298">   Przypomnijmy sobie, jakie długości boków ma trójkąt o kątach 90°, 60°, 30°:  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22341/oYpmszt038tlbWOAz7Plg%3D%3D_032fc89220bce6c83d37bbabab70a48243742857de1e66e57d578c102bdbba6f.jpg"> U nas:   x=9 cm

Rozwiązanie 1

Jeśli przez a, b, c oznaczymy długości krawędzi tego prostopadłościanu, to:  a⋅b=12 b⋅c=16

Oznaczmy: <ul> <li>a - krawędź sześcianu o polu 54 cm²</li> <li>b - krawędź sześcianu o polu 96 cm²</li> <li>c - krawędź sześcianu o polu 150 cm²</li> </ul>   Teraz chcemy wyliczyć a, b, c (pamiętając, że każdy sześcian ma 6 jednakowych, kwadratowych ścian) 6⋅a2=54   ∣:6   a2=9   a=9<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=3 cm       6⋅b2=96   ∣:6

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma 2 podstawy w kształcie kwadratu oraz 4 ściany boczne. Każda ściana boczna to prostokąt, którego jednym bokiem jest krawędź podstawy, a drugim jest wysokość graniastosłupa.  Oznaczmy wysokość graniastosłupa jako h.  Pp​=5⋅5=25 [cm2] Pb​=4⋅5⋅h=20⋅h [cm2]

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/31224/g8dTbxGeMcyuq2gqnxoR8g%3D%3D_e8a92956418e6549437cdddff07aa1c7e6ab12ccad01ceb6e0ff0b5189e52edc.jpg"> Przypomnijmy sobie, jakie długości boków ma trójkąt o kątach 90°, 60°, 30° <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22341/oYpmszt038tlbWOAz7Plg%3D%3D_032fc89220bce6c83d37bbabab70a48243742857de1e66e57d578c102bdbba6f.jpg"> Możemy zapisać: 2x=8 cm a=x=8 cm:2=4 cm

Oznaczmy przez a, b, c długości (w cm) krawędzi prostopadłościanu na początku. Znamy objętość, więc możemy zapisać:  a⋅b⋅c=30 cm3      Teraz zapisujemy objętość po zmianach:  V=(4⋅a)⋅(b⋅21​)⋅(c⋅31​)=

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/31234/qBC5W4qcjHrS/D1oQTLvGA%3D%3D_8b3fe3f55f442376169574b7c588d303657d0d89095192d352d11cc7c830774c.jpg"> a) Zapiszemy, jakie wymiary ma prostopadłosˊcian, ktoˊry powstaje w kaz˙dym sposobie pakowania, a następnie liczymy pole powierzchni tego prostopadłosˊcianu (czyli pole folii zuz˙ytej do opakowania)   sp. 1 9 cm   ×   19,5 cm   ×   (4⋅5,5 cm) czyli   9 cm   ×   19,5  cm   ×   22 cm

Oznaczmy przez a, b, c długości krawędzi tego prostopadłościanu (długości te są wyrażone w metrach). Znamy pola ścian, więc możemy zapisać:  a⋅b=8,41   b⋅c=12,96   a⋅c=15,21

GRANIASTOSŁUP O PODSTAWIE W KSZTAŁCIE ROMBU   Wyraźmy najpierw długości przekątnych w dm: x cm=101​x dm   (x+1) cm=101​(x+1) dm     Teraz obliczamy pole podstawy (w dm²) tego graniastosłupa:  <math-expr expr="P_p_1=1/2*1/10x*1/10(x+1)=" syntax="text"></math-expr>