II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

Rozwiązanie 1

a) Mamy ostrosłup prawidłowy czworokątny. W jego podstawie mamy kwadrat. Zatem, aby uzyskać dwa ostrosłupy o równych objętościach, wystarczy rozciąć podstawę ostrosłupa na dwa wielokąty o równych polach powierzchni i prostopadle do płaszczyzny podstawy. Można rozciąć ostrosłup płaszczyzną wzdłuż przekątnej podstawy. Powstaną dwa ostrosłupy trójkątne o równych objętościach.  Można rozciąć ostrosłup płaszczyną, która dzieli kwadrat na dwa prostokąty o równych polach powierzchni.Powstaną dwa ostrosłupy czworokątne o równych objętościach. Oczywiście wysokości nowych ostrosłupów będą wóczas takie same jak wysokość wyjściowego ostrosłupa.
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22650/ImDYlC6g%2BwUjRiXl%2BfBikg%3D%3D_3c32b4b838e2fd4696031db64e09951bf98af930ee2e419c6e190977b3285b7e.jpg" width="209" height="259"><img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22651/KABNcsQ9yZX8qm8kjA6lKg%3D%3D_64e487db2ad319d9e75584504120da440269d3fb5c38eebb54f2fa5dc1e8c8d8.jpg" width="219" height="184">

Tak, aby ostrosłup miał największą objętość musi to być ostrosłup czworokątny, którego podstawą jest jedną ze ścian pudełka. Może to być dowolna ze ścian, ponieważ mnożenie jest przemienne. Wyjaśnia to wzór poniżej. Mamy zatem, V=31​⋅Pp​⋅H

W podstawie ostrosłupa jest kwadrat o boku a=0,5m.   Znamy objętość ostrosłupa wynosi V=1m3

Policzmy najpierw objętość ostosłupa. W jego podstawie jest kwadrat o boku długości 2a . Wysokość ostrosłupa ma miarę H=2a. V1​=31​⋅Pp​⋅H

Narysowana świeczka ma kształt połączonych ze sobą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego oraz ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a=6cm . Mamy policzyć długość krawędzi x , czyli wysokość graniastosłupa. Wiemy, że cała świeczka ma wysokość 15cm , zatem wysokość ostrosłupa ma miarę (15−x)cm.

Wiemy, że objętość prostopadłościanu wynosi V=60cm3. Wiemy, że V=Pp​⋅H , gdzie Pp​   to pole podstawy prostopadłościanu a H