II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

Bryły z podpunktu B,C,D są graniastosłupami. Tylko bryła z podpunktu A nim nie jest - nie ma dwóch podstaw równoległych i przystających, a ściany boczne nie są równoległobokami. 
Każdy z tych graniastosłupów można rozciąć na graniastosłup prosty trójkątny i prostoapdłościan. Obrazuje to poniższy rysunek

Rozwiązanie 1

a) W podstawie graniastosłupa jest czworokąt. Zatem graniastosłup ma po 4 krawędzie w każdej podstawie oraz 4 krawędzie boczne. Razem ma 4⋅3=12   krawędzi. Graniastosłup czworokątny na dwie podstawy i 4 ściany boczne - razem 6 ścian. Graniastosłup czworokątny ma po 4 wierzchołki w każdej z podstaw. Razem ma 2⋅4=8 wierzchołków.

Wystarczy graniastosłup prosty rozciąć płaszczyzną równoległą

Graniastosłup jest prawidłowy, zatem w każdym przypadku w podstawie graniastosłupa mamy wielokąt foremny. Skoro ściany boczne graniastosłupa prawidłowego są kwadratami o boku 2 cm, zatem długość krawędzi podstawy graniastosłupa w każdym przypadku również wynosi 2cm. Zatem w tym zadaniu przedstawione graniastosłupy mają wszystkie krawędzie równej długości 2 cm. a) W podstawie graniastosłupa jest trójkąt. Zatem ten graniastosłup ma 3⋅3=9   krawędzi. Suma długości krawędzi 9⋅2cm=18cm

Niech n oznacza ilość wierzchołków wielokąta w podstawie graniastosłupa. Graniastosłup jest prawidłowy, zatem w jego podstawie jest wielokąt foremny (każda krawędź jest równej długości). Wówczas sumę długości krawędzi graniastosłupa wyraża wzór 2⋅n⋅x+n⋅2 gdzie x   jest długością krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego, w którego podstawie jest wielokąt o n wierzchołkach. Graniastosłup ma 2n   krawędzi w obu podstawach (każda krawędź ma długość równą  x