II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

Rysujemy dowolną cięciwę  AB .
Przy wierzchołku A odkładamy kąt o mierze 90 stopni. 
Punkt przecięcia ramiona kąta z okręgiem oznaczamy literą C. Rysujemy odcinki AC i BC.  Odcinek BC jest przekątną trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg, zatem środek okręgu leży w połowie odcinka BC.
Teraz wystarczy wykreślić symetralną przeciwprostokątnej BC. 
Konstrukcja symetralnej:
Zakreślamy cyrklem dwa okręgi o środkach w punktach C oraz B o identycznym promieniu większym od połowy długości odcinka BC. Okręgi te przetną się w dwóch różnych punktach.
Prowadzimy prostą przez wyznaczone punkty przecięcia okręgów.
Na przecięciu odcinka BC i symetralnej mamy środek okręgu opisanego na trójkącie, który oznaczamy literą O.
 
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22425/ikEfk0hOMS%2BWenkpdsTygQ%3D%3D_bbaae038aa9af7d649ed2f7cdb18226dfcb827db27bddfec2537f8c04f30087e.jpg" width="348" height="385">

Rozwiązanie 1

A)
Rysujemy dowolną cięciwę  AB .
Przy wierzchołku A odkładamy kąt o mierze 90 stopni.
Punkt przecięcia ramiona kąta z okręgiem oznaczamy literą C. Rysujemy odcinki AC i BC.  Odcinek BC jest przekątną trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg. Mamy trójkąt prostokątny wpisany w okrąg.
 
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22426/tBWYNBmhL2cQYdzv0MSauw%3D%3D_807ff889ee19eeb3a183b232b2dd6d7505c5d8e309825bf6661498a6fd8d38fc.jpg" width="351" height="372">

W rozwiązaniu będziemy korzystać z następującej własności: Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. a) Mamy 90+α+40=180 , zatem α=180−130=50     b) Mamy α+90+90+80=360

W rozwiązaniu korzystamy z własności Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. a) Wystarczy nakreślić promień do punktu styczności. Mamy wówczas trójkąt prostokątny i liczymy x korzystając z tw. Pitagorasa x2+92=152 x2=225−81=144 x=12

Skoro promień okręgu ma długość 4 cm, zatem jego średnica ma długość d=8 cm. Zauważmy, iż średnica okręgu jest wysokością trójkąta ABC, mamy zatem P=21​∣AB∣⋅d

a) Rysujemy średnicę AB okręgu. Wystarczy narysować styczną do okręgu w punkcie A oraz styczną do okręgu w punkcie B - będą one do siebie równoległe.
Zatem najpierw konstruujemy półprostą OA.
Wyznaczamy na narysowanej półprostej taki punkt C, że punkt A jest środkiem odcinka OC.
Konstruujemy symetralną odcinka OC, czyli styczną do okręgu w punkcie A.
Konstrukcja symetralnej:

10