Matematyka

Autorzy:Podobińska Barbara, Przetacznik-Dąbrowa Teresa

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2013

Siatka ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równoległobokiem podzielonym odpowiednio na cztery trójkąty 4.45 gwiazdek na podstawie 11 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Siatka ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równoległobokiem podzielonym odpowiednio na cztery trójkąty

15
 Zadanie

16
 Zadanie

17
 Zadanie
18
 Zadanie
19
 Zadanie

Przypadek 1:

Krótszy bok równoległoboku ma długość 6 cm. Oznacza to, że długość boku każdego trójkąta równobocznego też wynosi 6cm. Pole podstawy tego ostrosłupa jest równe:

`P_p=(6^2*sqrt3)/4=9sqrt3`

Wysokość ostrosłupa można policzyć z trójkąta prostokątnego, gdzie przyprostokątnymi są wysokość ostrosłupa (oznaczmy jako h) oraz `2/3`  wysokości podstawy, czyli `2/3*3sqrt3` cm, a przeciwprostokątną jest bok trójkąta i jednocześnie krawędź tego ostrosłupa o długości 6cm. Mamy zatem z tw. Pitagorasa:

`h^2+(2/3*3sqrt3)^2=6^2`

`h=sqrt(36-(2sqrt3)^2)=sqrt(36-12)=sqrt24=2sqrt6`

Objętość ostrosłupa jest więc równa:

`V=1/3*P_p*h=1/3*9sqrt3*2sqrt6=6*sqrt18=18*sqrt2 cm^3`  ` `

Pole powierzchni ostrosłupa jest czterokrotnością pola podstawy (bo ostrosłup jest prawidłowy):

`P_(po)=4*P_p=4*9sqrt3=36sqrt3cm^2`


Przypadek nr 2:

Krótszy bok równoległoboku ma długość 3 cm. Oznacza to, że długość boku każdego trójkąta równobocznego wynosi 3cm. Pole podstawy tego ostrosłupa jest równe: 

`P_p=(3^2*sqrt3)/4=9/4sqrt3`

Pole powierzchni ostrosłupa jest równe czterokrotności pola podstawy:

`P_(po)=4*P_p=4*9/4sqrt3=9sqrt3`

Wysokość ostrosłupa policzymy podobnie jak poprzednio z trójkąta prostokątnego.  Przyprostokątnymi są wysokość ostrosłupa (oznaczmy jako h) oraz `2/3`  wysokości podstawy, czyli `2/3*3/2sqrt3` cm. Przeciwprostokątną jest natomiast bok trójkąta i jednocześnie krawędź tego ostrosłupa o długości 3cm. Z tw. Pitagorasa: 

`h^2+(2/3*3/2sqrt3)^2=3^2`

`h=sqrt(9-(sqrt3)^2)=sqrt(9-3)=sqrt6`

Objętość ostrosłupa wynosi zatem:

`V=1/3*P_p*h=1/3*9/4sqrt3*sqrt6=9/12*sqrt18=3/4*sqrt18` `=9/4sqrt2 cm^3`

Odpowiedź:

W przypadku pierwszym objętość wynosi `18sqrt2cm^3`, a pole powierzchni `36sqrt3cm^2` , W przypadku drugim objętość wynosi `9/4 sqrt2 cm^3`, a pole powierzchni `9sqrt3 cm^2`.