Szkic pomocniczy:

Najpierw obliczamy trzeci kąt w trójkącie $ABC$:

$\sphericalangle ACB=180^{\circ }-90^{\circ }-40^{\circ }=50^{\circ }$

Zatem w trójkącie $ABC$ mamy: $\sphericalangle BAC=90^{\circ }$, $\sphericalangle ABC=40^{\circ }$, $\sphericalangle ACB=50^{\circ }$.

W trójkącie $DEF$ wiadomo, że $\sphericalangle EDF=90^{\circ }$.

a)

$DE=AC$ i $DF=AB$

Szkic pomocniczy:

Boki $DE$ i $DF$ są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego $DEF$, a boki $AC$ i $AB$ są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego $ABC$.

Mamy:

• $DE=AC$,
• $DF=AB$,
• $\sphericalangle EDF=\sphericalangle BAC=90^{\circ }$.

Są więc równe dwa boki oraz kąt między nimi. Z kryterium bok-kąt-bok trójkąty $DEF$ i $ABC$ są przystające.

---

b)

$\sphericalangle EFD=50^{\circ }$ i $EF=BC$

Szkic pomocniczy:

Skoro $\sphericalangle EDF=90^{\circ }$ oraz $\sphericalangle EFD=50^{\circ }$, to:

$\sphericalangle DEF=180^{\circ }-90^{\circ }-50^{\circ }=40^{\circ }$

Zatem w trójkącie $DEF$ kąty mają miary $90^{\circ }$, $40^{\circ }$, $50^{\circ }$, tak samo jak w trójkącie $ABC$.

Ponadto $EF$ jest przeciwprostokątną trójkąta $DEF$, a $BC$ jest przeciwprostokątną trójkąta $ABC$. Z warunku mamy $EF=BC$.

Możemy więc przyporządkować kąty:

• $\sphericalangle D=\sphericalangle A=90^{\circ }$,
• $\sphericalangle E=\sphericalangle B=40^{\circ }$,
• $\sphericalangle F=\sphericalangle C=50^{\circ }$,

oraz bok $EF=BC$ leżący między kątami $40^{\circ }$ i $50^{\circ }$.

Z kryterium kąt-bok-kąt trójkąty $DEF$ i $ABC$ są przystające.

---

c)

$\sphericalangle EFD=50^{\circ }$ i $DF=AC$

Szkic pomocniczy:

Mamy $\sphericalangle EDF=90^{\circ }$ oraz $\sphericalangle EFD=50^{\circ }$. W trójkącie $ABC$ mamy natomiast $\sphericalangle BAC=90^{\circ }$ i $\sphericalangle ACB=50^{\circ }$.

Ponadto z warunku:

$DF=AC$

Bok $DF$ leży między kątami $90^{\circ }$ i $50^{\circ }$ w trójkącie $DEF$, a bok $AC$ leży między kątami $90^{\circ }$ i $50^{\circ }$ w trójkącie $ABC$.

Zatem mamy równe dwa kąty i bok między nimi. Na podstawie kryterium kąt-bok-kąt trójkąty $DEF$ i $ABC$ są przystające.