Treść:

Ciąg geometryczny $\left(a_n\right)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek $a_3\cdot a_6=18$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu aby zdanie było prawdziwe.

Iloczyn $a_2\cdot a_7$ jest równy ......

---

Odpowiedź:

Iloczyn $a_2\cdot a_7$ jest równy $18$.

---

Wyjaśnienie:

Wiemy, że $\left(a_n\right)$ to ciąg geometryczny, zatem:

$a_3=a_1\cdot q^2$

$a_6=a_1\cdot q^5$

oraz:

$a_2=a_1\cdot q$

$a_7=a_1\cdot q^6$

W treści zadania podano, że iloczyn liczb $a_3$i $a_6$ wynosi $18$, zatem:

$a_3\cdot a_6=\underset{a_3}{\underbrace{a_1\cdot q^2}}\cdot \underset{a_6}{\underbrace{a_1\cdot q^5}}=a_1^2\cdot q^7=18$

Zauważmy, że:

$a_2\cdot a_7=a_1\cdot q\cdot a_1\cdot q^6=a_1^2\cdot q^7$

Stąd:

$a_2\cdot a_7=a_3\cdot a_6=18$