Treść:

Ciąg $\left(a_n\right)$ jest określony wzorem $a_n=3n+5$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Trzywyrazowy ciąg $\left(a_1,a_9,a_k\right)$ jest geometryczny.

Oblicz $\mathbf{k}$.

---

Odpowiedź:

Liczba $k$ wynosi $41$.

---

Wyjaśnienie:

Zapiszmy wyrazy podanego ciągu w postaci ogólnej wiedząc którymi są wyrazami ciągu arytmetycznego.

$a_1=3\cdot 1+5=8$

$a_9=3\cdot 9+5=32$

$a_k=3k+5$

Skoro podany trzywyrazowy ciąg jest geometryczny to między sąsiednimi wyrazami zachodzi relacja

$a_1\cdot a_k=a_9^2$

Zatem

$8\cdot \left(3k+5\right)=32^2$

$8\left(3k+5\right)=32\cdot 32|:8$

$3k+5=32\cdot 4$

$3k+5=128|-5$

$3k=123|:3$

$\underline{k=41}$