Treść:

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $AC$ jest przeciwprostokątną oraz $\left|BC\right|=2$ i $\left|AC\right|=2\sqrt{10}$. Oznaczmy kąt $BCA$ przez $\gamma$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta $\gamma$ jest równy

A. $\frac{1}{\sqrt{10}}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{3}{\sqrt{10}}$

D. $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}$

---

Odpowiedź:

C.

---

Wyjaśnienie:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość odcinka $AB$.

${\left|AB\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left|AC\right|}^2$

${\left|AB\right|}^2+2^2={\left(2\sqrt{10}\right)}^2$

${\left|AB\right|}^2+4=4\cdot 10$

${\left|AB\right|}^2+4=40|-4$

${\left|AB\right|}^2=36|:\sqrt{},\left|AB\right|>0$

$\left|AB\right|=6$

Wyznaczamy sinus kąta $\gamma$. Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.

$\sin \gamma =\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}$

$\sin \gamma =\frac{6}{2\sqrt{10}}$

Skracamy licznik i mianownik ułamka przez $2$.

$\boxed{\sin \gamma =\frac{3}{\sqrt{10}}}$