Treść:

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$.

Punkt $B$ leży na krótszym łuku $AC$.

Kąt $CDA$ ma miarę $50^{\circ }$, a kąt $COB$ ma miarę $30^{\circ }$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $BOA$ jest równa.

A. $50^{\circ }$

B. $60^{\circ }$

C. $70^{\circ }$

D. $100^{\circ }$

---

Odpowiedź:

C.

---

Uzasadnienie:

Zauważ, że kąt środkowy $\sphericalangle AOC$ jest oparty na tym samym łuku, co kąt wpisany $\sphericalangle ADC$ - oznacza to, że miara kąta $\sphericalangle AOC$ jest dwa razy większa od miary kąta $\sphericalangle ADC$ (jeżeli kąt środkowy i wpisany są oparte na tym samym łuku, to miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary ąta wpisanego).

A zatem:

$\left|\sphericalangle AOC\right|=2\cdot 50^{\circ }=100^{\circ }$

Kąt $\sphericalangle AOC$ jest sumą kątów $\sphericalangle BOC$ (który ma $30^{\circ }$) oraz $\sphericalangle BOA$ (którego szukamy). A więc miara szukanego kąta to:

$\left|\sphericalangle BOA\right|=100^{\circ }-30^{\circ }=\boxed{70^{\circ }}$