Treść:

W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ wykresem funkcji kwadratowej $f\left(x\right)$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=\left(3,-2\right)$.

Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g\left(x\right)=f\left(x+1\right)$.

Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba $0$.

Wyznacz wzór funkcji $f\left(x\right)$ w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

---

Rozwiązanie:

Chcemy wyznaczyć wzór funkcji $f\left(x\right)$ w postaci ogólnej.

Zauważ, że znamy również jedno z miejsc zerowych tej funkcji (skoro miejscem zerowym funkcji $g\left(x\right)$ jest $0$, to jednym z miejsc zerowych funkcji $f\left(x\right)$ jest $1$ - ponieważ wykres funkcji $g$ jest przesunięty o $1$ w lewo względem wykresu funkcji $f$).

Możemy więc zapisać:

$x_1=1$

Znamy pierwszą współrzędną wierzchołka oraz jedno z miejsc zerowych - możemy więc wyznaczyć drugie miejsce zerowe. Przypomnijmy:

$p=\frac{x_1+x_2}{2}$

A zatem:

$3=\frac{1+x_2}{2}$

$6=1+x_2$

$x_2=5$

Zapiszmy wzór funkcji $f\left(x\right)$ w postaci iloczynowej:

$f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

$f\left(x\right)=a\left(x-1\right)\left(x-5\right)$

Musimy wyznaczyć wartość współczynnika $a$. Podstawmy do wzoru współrzędne wierzchołka:

$f\left(3\right)=-2$

A więc:

$-2=a\cdot \left(3-1\right)\cdot \left(3-5\right)$

$-2=a\cdot 2\cdot \left(-2\right)$

$-2=-4a$

$a=\frac{1}{2}$

A zatem:

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x-1\right)\left(x-5\right)$

Musimy zapisać ten wzór w postaci ogólnej:

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x^2-5x-x+5\right)=\frac{1}{2}\left(x^2-6x+5\right)=\frac{1}{2}{x}^2-3x+\frac{5}{2}$

A zatem:

$\boxed{f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-3x+\frac{5}{2}}$