Dane jest równanie:

$\left|x-1\right|=m+2$

Wyznaczymy wszystkie wartości parametru $m$, dla których rozwiązaniem powyższego równania jest para liczb o przeciwnych znakach.

---

Wiemy, że wartość bezwzględna jest nieujemna.

Zauważmy, że powyższe równanie:

• nie ma rozwiązań, gdy $m+2<0$,
• ma jedno rozwiązanie, gdy $m+2=0$,
• ma dwa rozwiązania, gdy $m+2>0$.

Równanie ma mieć dwa rozwiązania, więc zakładamy, że:

$m+2>0$

$m>-2$

$m\in \left(-2;\infty \right)$

---

Rozwiązujemy równanie:

$\left|x-1\right|=m+2$

Stąd:

$x-1=m+2\text{lub}x-1=-\left(m+2\right)$

• Rozwiązujemy pierwsze równanie:

$x-1=m+2$

$x=m+2+1$

$x=m+3$

• Rozwiązujemy drugie równanie:

$x-1=-\left(m+2\right)$

$x-1=-m-2$

$x=-m-2+1$

$x=-m-1$

Otrzymujemy, że:

$x=m+3\text{lub}x=-m-1$

---

Zauważmy, że skoro z założenia:

$m+2>0$

To jedno z rozwiązań równania również jest dodatnie:

$m+3=\underset{>0}{\underbrace{m+2}}+1>0$

Rozwiązania równania mają mieć przeciwne znaki, więc drugie rozwiązanie równania musi być ujemne:

$-m-1<0$

$-m<1|:(-1)$

$m>-1$

$m\in \left(-1;\infty \right)$

---

Ostatecznie:

$m\in \left(-1;\infty \right)\text{i}m\in \left(-2;\infty \right)$

Czyli:

$\boxed{m\in \left(-1;\infty \right)}$