Zauważmy, że dwie kolejne liczby naturalne możemy zapisać w następujący sposób (dla $k\in \mathbb{N}$) :

1) Pierwsza liczba dzieli się przez $3$, a reszta z dzielenia drugiej liczby przez $3$ wynosi $1$:

$3k\text{i}3k+1$

2) Pierwsza liczba przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$, a druga liczba przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$:

$3k+1\text{i}3k+2$

3) Pierwsza liczba przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$, a druga liczba jest podzielna przez $3$:

$3k+2\text{i}3k+3$

Iloczyny tych liczb są równe odpowiednio:

1)

$3k\cdot \left(3k+1\right)=9k^2+3k=3\left(3k^2+k\right)$

W tym przypadku iloczyn tych liczb jest podzielny przez $3$.

2)

$\left(3k+1\right)\left(3k+2\right)=3k\cdot 3k+3k\cdot 2+1\cdot 3k+1\cdot 2=9k^2+6k+3k+2=9k^2+9k+2=3\left(3k^2+3k\right)+2$

W tym przypadku iloczyn tych nie jest podzielny przez $3$.

3)

$\left(3k+2\right)\left(3k+3\right)=3k\cdot 3k+3k\cdot 3+2\cdot 3k+2\cdot 3=9k^2+9k+6k+6=9k^2+15k+6=3\left(3k^2+5k+2\right)$

W tym przypadku iloczyn tych liczb jest podzielny przez $3$.

Sprawdźmy, czy w 1) i 3) przypadku sumy tych liczb dzielą się przez $3$ (nie sprawdzamy przypadku 2) ponieważ jest on niezgodny z założeniem, że iloczyn dwóch kolejnych liczb jest podzielny przez $3$):

1)

$3k+3k+1=6k+1=3\cdot 2k+1$

Ta liczba nie jest podzielna przez $3$, ponieważ możemy ją zapisać w postaci sumy liczby podzielnej przez $3$ i liczby $1$.

3)

$3k+2+3k+3=6k+5=6k+3+2=3\left(2k+1\right)+2$

Ta liczba nie jest podzielna przez $3$, ponieważ możemy ją zapisać w postaci sumy liczby podzielnej przez $3$ i liczby $2$.

To kończy dowód.