Oś symetrii paraboli Osią symetrii paraboli $y=a{x}^2+bx+c$ jest prosta $x=p,$ gdzie $p=-\frac{b}{2a}.$

---

a)

Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-6x+7$

Wyznaczmy prostą, która jest osią symetrii tej paraboli, czyli prostą $x=p.$ Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=6\cdot 2=12$

Zatem prosta $x=12$ jest osią symetrii tej paraboli.

Wyznaczmy drugą współrzędną wierzchołka paraboli. Wystarczy wyznaczyć $f\left(p\right),$ czyli wartość funkcji dla argumentu $12.$

$f\left(12\right)=\frac{1}{4}\cdot 12^2-6\cdot 12+7$

$f\left(12\right)=\frac{1}{4}\cdot 144-72+7$

$f\left(12\right)=36-72+7$

$f\left(12\right)=-29$

Zauważmy, że ramiona paraboli są skierowane w górę, ponieważ współczynnik $a$ jest dodatni. Wobec tego zbiór wartości funkcji to przedział:

$Z{W}_f=\left[-29;\infty \right)$

Wnioskujemy, że funkcja jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ;12\right]$ oraz funkcja jest rosnąca w przedziale $\left[12;\infty \right).$

---

b)

Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=-5x^2-15x+1$

Wyznaczmy prostą, która jest osią symetrii tej paraboli, czyli prostą $x=p.$ Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{-15}{2\cdot \left(-5\right)}=-\frac{-15}{-10}=-\frac{3}{2}$

Wyznaczmy drugą współrzędną wierzchołka paraboli. Wystarczy wyznaczyć $f\left(p\right),$ czyli wartość funkcji dla argumentu $-\frac{3}{2}.$

$f\left(-\frac{3}{2}\right)=-5\cdot {\left(-\frac{3}{2}\right)}^2-15\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+1$

$f\left(-\frac{3}{2}\right)=-5\cdot \frac{9}{4}+\frac{45}{2}+1$

$f\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{45}{4}+\frac{90}{4}+\frac{4}{4}$

$f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{49}{4}$

$f\left(-\frac{3}{2}\right)=12\frac{1}{4}$

Zauważmy, że ramiona paraboli są skierowane w dół, ponieważ współczynnik $a$ jest ujemny. Wobec tego zbiór wartości funkcji to przedział:

$Z{W}_f=\left(-\infty ;12\frac{1}{4}\right]$

Wnioskujemy, że funkcja jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right]$ oraz funkcja jest malejąca w przedziale $\left[-\frac{3}{2};\infty \right).$

---

c)

Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=x^2-4\sqrt{2}x-2$

Wyznaczmy prostą, która jest osią symetrii tej paraboli, czyli prostą $x=p.$ Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4\sqrt{2}}{2\cdot 1}=2\sqrt{2}$

Wyznaczmy drugą współrzędną wierzchołka paraboli. Wystarczy wyznaczyć $f\left(p\right),$ czyli wartość funkcji dla argumentu $2\sqrt{2}.$

$f\left(2\sqrt{2}\right)={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-4\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}-2$

$f\left(2\sqrt{2}\right)=4\cdot 2-8\cdot 2-2$

$f\left(2\sqrt{2}\right)=8-16-2$

$f\left(2\sqrt{2}\right)=-10$

Zauważmy, że ramiona paraboli są skierowane w górę, ponieważ współczynnik $a$ jest dodatni. Wobec tego zbiór wartości funkcji to przedział:

$Z{W}_f=\left[-10;\infty \right)$

Wnioskujemy, że funkcja jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ;2\sqrt{2}\right]$ oraz funkcja jest rosnąca w przedziale $\left[2\sqrt{2};\infty \right).$