Chcemy udowodnić, że dla dowolnych liczb $a$, $b$, $c$, spełniających zależności

$\frac{a+b}{2}>c\text{oraz}\frac{b+c}{2}>a$

prawdziwa jest nierówność 

$\frac{a+c}{2}<b$

Dodajmy stronami nierówności z założeń zadania i przekształćmy otrzymaną nierówność:

$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}>a+c$

$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}>a+c$

$\frac{a+c}{2}+b>a+c|-\frac{a+c}{2}$

$b>\left(a+c\right)-\frac{a+c}{2}=1\cdot \left(a+c\right)-\frac{1}{2}\left(a+c\right)$

$b>\frac{1}{2}\left(a+c\right)$

$b>\frac{a+c}{2}$

Otrzymaliśmy nierówność, którą chcieliśmy udowodnić, co kończy dowód.