Dany jest wielomian:

$w\left(x\right)=\left(2x^2+5\right)\left(3x^2-5x+4\right)$

Rozważmy wielomian w pierwszym z nawiasów. Mamy:

${\Delta }_1=0^2-4\cdot 2\cdot 5=0-40=-40<0$

Skoro $\Delta <0$, to tego wielomianu nie można rozłożyć na czynniki liniowe.

Rozważmy wielomian w drugim z nawiasów. Mamy:

${\Delta }_2={\left(-5\right)}^2-4\cdot 3\cdot 4=25-36=-11$

Skoro $\Delta <0$, to tego wielomianu nie można rozłożyć na czynniki liniowe.

Wobec tego wielomian $w$ nie ma w rozkładzie czynników liniowych.

---

Dany jest wielomian:

$u\left(x\right)=x^7-2x^6+4x^5$

Zauważmy, że:

$u\left(x\right)=x^7-2x^6+4x^5=x^5\left(x^2-2x+4\right)$

Wobec tego wielomian $u$  ma w rozkładzie czynnik liniowy $x$.

---

Dany jest wielomian:

$p\left(x\right)=x^6+3x^4+3x^2+1$

Zauważmy, że:

$p\left(x\right)=x^6+3x^4+3x^2+1=x^6+2x^4+x^4+2x^2+x^2+1=$

$=x^6+x^4+2x^4+2x^2+x^2+1=x^4\left(x^2+1\right)+2x^2\left(x^2+1\right)+1\left(x^2+1\right)=$

$=\left(x^2+1\right)\left(x^4+2x^2+1\right)=\left(x^2+1\right){\left(x^2+1\right)}^2={\left(x^2+1\right)}^3$

Rozważmy wielomian w nawiasie. Mamy:

$\Delta =0^2-4\cdot 1\cdot 1=0-4=-4<0$

Skoro $\Delta <0$, to tego wielomianu nie można rozłożyć na czynniki liniowe.

Wobec tego wielomian $p$ nie ma w rozkładzie czynników liniowych.