Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $ADC$ obliczmy długość boku $AC$ tego trójkąta:

$|AC{|}^2=|AD{|}^2+|CD{|}^2-2\cdot |AD|\cdot |CD|\cdot \cos |\sphericalangle ADC|$

$|AC{|}^2=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }$

$|AC{|}^2=4+1-4\cdot \frac{1}{2}$

$|AC{|}^2=5-2$

${\left|AC\right|}^2=3$

$\left|AC\right|=\sqrt{3}$

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $ADC$ wyznaczmy cosinus kąta $ACD$:

$|AD{|}^2=|AC{|}^2+|CD{|}^2-2\cdot |AC|\cdot |CD|\cdot \cos |\sphericalangle ACD|$

$2^2={\sqrt{3}}^2+1^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot 1\cdot \cos |\sphericalangle ACD|$

$4=3+1-2\sqrt{3}\cdot \cos |\sphericalangle ACD|$

$4=4-2\sqrt{3}\cdot \cos |\sphericalangle ACD|$

$0=-2\sqrt{3}\cdot \cos |\sphericalangle ACD|$

$\cos |\sphericalangle ACD|=0$

Z tego wynika, że:

$|\sphericalangle ACD|=90^{\circ }$

Zatem trójkąt $ACD$ jest prostokątny.

Korzystając z twierdzenia o dwusiecznej możemy zapisać następującą równość:

$\frac{|AE|}{|EC|}=\frac{|AD|}{|DC|}$

$\frac{|AE|}{|EC|}=\frac{2}{1}$

$\frac{|AE|}{|EC|}=2$

Stąd:

$|AE|=2|EC|$

Wiemy, że:

$|AC|=|AE|+|EC|$

Czyli:

$\sqrt{3}=2\left|EC\right|+\left|EC\right|$

$3\left|EC\right|=\sqrt{3}$

$\left|EC\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Trójkąt $ACD$ jest prostokątny, więc trójkąt $ECD$ również jest prostokątny, zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość boku $DE$:

${\left|DE\right|}^2=|EC{|}^2+|CD{|}^2$

$|DE{|}^2={\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2+1^2$

$|DE{|}^2=\frac{3}{9}+1$

$|DE{|}^2=\frac{1}{3}+1$

$|DE{|}^2=\frac{4}{3}|\sqrt{},\left|DE\right|>0$

$\left|DE\right|=\sqrt{\frac{4}{3}}$

$\left|DE\right|=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$\left|DE\right|=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Suma miar kątów przyległych wynosi $180^{\circ }$, więc:

$|\sphericalangle BDC|=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $BDC$ obliczmy długość boku $BC$ tego trójkąta:

$|BC{|}^2=|BD{|}^2+|CD{|}^2-2\cdot |BD|\cdot |CD|\cdot \cos |\sphericalangle BDC|$

$|BC{|}^2=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos 120^{\circ }$

$|BC{|}^2=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos (180^{\circ }-60^{\circ })$

$|BC{|}^2=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cdot (-\cos 60^{\circ })$

$|BC{|}^2=4+1-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$|BC{|}^2=5+2$

${\left|BC\right|}^2=7$

$\left|BC\right|=\sqrt{7}$

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $BDC$ wyznaczmy cosinus kąta $BCD$:

$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2-2\cdot |BC|\cdot |CD|\cdot \cos |\sphericalangle BCD|$

$2^2={\sqrt{7}}^2+1^2-2\cdot \sqrt{7}\cdot 1\cdot \cos |\sphericalangle BCD|$

$4=7+1-2\sqrt{7}\cdot \cos |\sphericalangle BCD|$

$4=8-2\sqrt{7}\cdot \cos |\sphericalangle BCD|$

$-4=-2\sqrt{7}\cdot \cos |\sphericalangle BCD|$

$\cos |\sphericalangle BCD|=\frac{-4}{-2\sqrt{7}}$

$\cos |\sphericalangle BCD|=\frac{2}{\sqrt{7}}$

$\cos |\sphericalangle BCD|=\frac{2\sqrt{7}}{7}$

Korzystając z twierdzenia o dwusiecznej możemy zapisać następującą równość:

$\frac{|BF|}{|FC|}=\frac{|BD|}{|DC|}$

$\frac{|BF|}{|FC|}=\frac{2}{1}$

$\frac{|BF|}{|FC|}=2$

Stąd:

$|BF|=2|FC|$

Wiemy, że:

$|BC|=|BF|+|FC|$

Czyli:

$\sqrt{7}=2\left|FC\right|+\left|FC\right|$

$3\left|FC\right|=\sqrt{7}$

$\left|FC\right|=\frac{\sqrt{7}}{3}$

Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle BCD\right|=\left|\sphericalangle FCD\right|$

stąd:

$\cos \left|\sphericalangle BCD\right|=\cos \left|\sphericalangle FCD\right|=\frac{2\sqrt{7}}{7}$

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $FDC$ obliczmy długość odcinka $DF$:

${\left|DF\right|}^2=|FC{|}^2+|DC{|}^2-2\cdot |FC|\cdot |DC|\cdot \cos |\sphericalangle FCD|$

$|DF{|}^2={\left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)}^2+1^2-2\cdot \frac{\sqrt{7}}{3}\cdot 1\cdot \frac{2\sqrt{7}}{7}$

$|DF{|}^2=\frac{7}{9}+1-\frac{4\cdot 7}{3\cdot 7}$

$|DF{|}^2=\frac{7}{9}+\frac{9}{9}-\frac{12}{9}$

$|DF{|}^2=\frac{4}{9}|\sqrt{},\left|DF\right|>0$

$\left|DF\right|=\sqrt{\frac{4}{9}}$

$\left|DF\right|=\frac{2}{3}$

Obliczmy stosunek długości odcinków $DE$ i $DF$:

$\frac{|DE|}{|DF|}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{2}=\sqrt{3}$

Zatem otrzymaliśmy, że stosunek długości odcinków $DE$ i $DF$ wynosi $\sqrt{3}$.