Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Korzystając z twierdzenia cosinusów wyznaczmy wartość $\cos \alpha$:

$|AB{|}^2=|AC{|}^2+|BC{|}^2-2\cdot |AC|\cdot |BC|\cdot \cos \alpha$

$7^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot \cos \alpha$

$49=25+36-60\cos \alpha$

$49=61-60\cos \alpha$

$60\cos \alpha =61-49$

$60\cos \alpha =12$

$\cos \alpha =\frac{12}{60}$

$\cos \alpha =\frac{1}{5}$

Korzystając ze wzoru na jedynkę trygonometryczną wyznaczmy wartość $\sin \alpha$:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=1$

${\sin }^2\alpha +\frac{1}{25}=1$

${\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{25}$

${\sin }^2\alpha =\frac{24}{25}|\sqrt{},\sin \alpha >0$

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{24}{25}}$

$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczmy długość promienia - $R$ okręgu opisanego na tym trójkącie:

$\frac{\left|AB\right|}{\sin \alpha }=2R$

$\frac{7}{\frac{2\sqrt{6}}{5}}=2R$

$2R=7\cdot \frac{5}{2\sqrt{6}}$

$2R=\frac{35\sqrt{6}}{12}|:2$

$R=\frac{35\sqrt{6}}{24}$

Zatem otrzymaliśmy, że promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ wynosi $\frac{35\sqrt{6}}{24}$.