Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

Z własności trapezu równoramiennego mamy:

$\left|AF\right|=\frac{\left|AB\right|-\left|CD\right|}{2}=\frac{4\sqrt{2}-r}{2}$

$\left|FB\right|=\left|AB\right|-\left|AF\right|=4\sqrt{2}-\frac{4\sqrt{2}-r}{2}=$

$=\frac{8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+r}{2}=\frac{4\sqrt{2}+r}{2}$

Trójkąt $ABE$ jest trójkątem równoramiennym o kącie między ramionami o mierze $90^{\circ }$, a więc:

$\left|\sphericalangle EAB\right|=\left|\sphericalangle EBA\right|=\frac{180^{\circ }-90^{\circ }}{2}=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$

Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ }$, a więc rozważając trójkąt $ADF$ mamy:

$\left|\sphericalangle ADF\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle AFD\right|-\left|\sphericalangle DAF\right|=$

$=180^{\circ }-90^{\circ }-\left|\sphericalangle EAB\right|=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$

Zatem trójkąt $ADF$ jest równoramienny i zachodzi:

$\left|DF\right|=\left|AF\right|=\frac{4\sqrt{2}-r}{2}$

Z twierdzenia sinusów w trójkącie $ABD$ mamy:

$\frac{\left|BD\right|}{\sin \left|\sphericalangle DAB\right|}=2r$

$\frac{\left|BD\right|}{\sin \left|\sphericalangle EAB\right|}=2r$

$\frac{d}{\sin 45^{\circ }}=2r|\cdot \sin 45^{\circ }$

$d=2r\cdot \sin 45^{\circ }$

$d=2r\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$d=r\sqrt{2}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BDF$ mamy:

${{\left|DF\right|}^2+{\left|FB\right|}^2=\left|BD\right|}^2$

${\left(\frac{4\sqrt{2}-r}{2}\right)}^2+{\left(\frac{4\sqrt{2}+r}{2}\right)}^2={\left(r\sqrt{2}\right)}^2$

$\frac{16\cdot 2-8\sqrt{2}r+r^2}{4}+\frac{16\cdot 2+8\sqrt{2}r+r^2}{4}=2r^2$

$\frac{32-8\sqrt{2}r+r^2}{4}+\frac{32+8\sqrt{2}r+r^2}{4}=2r^2$

$\frac{64+2r^2}{4}=2r^2|\cdot 4$

$64+2r^2=8r^2|-2r^2$

$64=6r^2|:6$

$r^2=\frac{64}{6}$

$r^2=\frac{32}{3}|\sqrt{},r>0$

$r=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{96}}{3}=\frac{\sqrt{16\cdot 6}}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$

Zatem otrzymaliśmy, że długość promienia okręgu opisanego na tym trapezie to $\frac{4\sqrt{6}}{3}$.