Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

W trójkącie prostokątnym dwusieczna jednego z kątów ostrych dzieli przeciwległy bok (przyprostokątną $AC$) na odcinki, których stosunek długości wynosi $1:3$. Zgodnie z twierdzeniem o dwusiecznej, stosunek długości tych odcinków odpowiada stosunkowi długości przyprostokątnej do przeciwprostokątnej. Stąd:

$\frac{3x}{x}=\frac{\left|AB\right|}{\left|BC\right|}$

$3=\frac{\left|AB\right|}{\left|BC\right|}$

$3\left|BC\right|=\left|AB\right|$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABC$ mamy:

${\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2$

${\left(4x\right)}^2+{\left|BC\right|}^2={\left(3\left|BC\right|\right)}^2|-{\left|BC\right|}^2$

$16x^2=9{\left|BC\right|}^2-{\left|BC\right|}^2$

$16x^2=8{\left|BC\right|}^2|:8$

$2x^2={\left|BC\right|}^2|\sqrt{},x>0,\left|BC\right|>0$

$\left|BC\right|=\sqrt{2}x$

$\left|AB\right|=3\left|BC\right|=3\sqrt{2}x$

Obliczmy stosunek pól koła opisanego na trójkącie $ABC$ i wpisanego w ten trójkąt. Mamy:

$\frac{\pi R^2}{\pi r^2}=\frac{R^2}{r^2}={\left(\frac{R}{r}\right)}^2={\left(\frac{\frac{|AB|}{2}}{\frac{|AC|+|BC|-|AB|}{2}}\right)}^2={\left(\frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}x}{\frac{4x+\sqrt{2}x-3\sqrt{2}x}{2}}\right)}^2=$

$={\left(\frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}x}{\frac{4x-2\sqrt{2}x}{2}}\right)}^2={\left(\frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}x}{\frac{2x\left(2-\sqrt{2}\right)}{2}}\right)}^2={\left(\frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}x}{x\left(2-\sqrt{2}\right)}\right)}^2=$

$={\left(\frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{\frac{9}{4}\cdot 2}{4-4\sqrt{2}+2}=\frac{\frac{9}{4}}{6-4\sqrt{2}}=\frac{\frac{9}{4}}{2\left(3-2\sqrt{2}\right)}=$

$=\frac{1}{4}\cdot \frac{9}{3-2\sqrt{2}}\cdot \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{9\left(3+2\sqrt{2}\right)}{9-8}=\frac{1}{4}\cdot \frac{9\left(3+2\sqrt{2}\right)}{1}=\frac{9\left(3+2\sqrt{2}\right)}{4}$

Zatem otrzymaliśmy, że szukany stosunek wynosi $\frac{9\left(3+2\sqrt{2}\right)}{4}$.