Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi $360^{\circ }$, stąd w trapezie $ABCD$ mamy:

$90^{\circ }+90^{\circ }+2\alpha +2\beta =360^{\circ }$

$180^{\circ }+2\alpha +2\beta =360^{\circ }|-180^{\circ }$

$2\alpha +2\beta =180^{\circ }$

$2\left(\alpha +\beta \right)=180^{\circ }|:2$

$\alpha +\beta =90^{\circ }$

Korzystając z faktu, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi $180^{\circ }$możemy wyznaczyć miarę kąta $\gamma$:

$\underset{90^{\circ }}{\underbrace{\alpha +\beta }}+\gamma =180^{\circ }$

$90^{\circ }+\gamma =180^{\circ }|-90^{\circ }$

$\gamma =90^{\circ }$

Trójkąt $COB$ jest prostokątny, więc korzystając z twierdzenia o wysokości w trójkącie prostokątnym i uwzględniając oznaczenia przyjęte na rysunku otrzymujemy, że:

$r^2=\left|CG\right|\cdot \left|GB\right|$

Korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych możemy zapisać następujące równości:

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& \left|EB\right|=\left|GB\right|\\ & \left|FC\right|=\left|CG\right|\end{array}\end{array}$

Stąd wynika, że:

$r^2=\left|EB\right|\cdot \left|FC\right|$

Co należało wykazać.