a)

Oznaczmy przyprostokątne opisanego trójkąta przez $a$ oraz $b$, a jego przeciwprostokątną przez $c$.

Trójkąt prostokątny wpisany w okrąg ma przeciwprostokątną równą dwóm długościom promienia okręgu. Stąd:

$c=10\text{cm}$

Z treści zadania wiemy, że:

$a=2b$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy wtedy:

$a^2+b^2=c^2$

${\left(2b\right)}^2+b^2=10^2$

$4b^2+b^2=100$

$5b^2=100|:5$

$b^2=20|\sqrt{},b>0$

$b=\sqrt{20}$

$b=\sqrt{4\cdot 5}$

$b=2\sqrt{5}\left[\text{cm}\right]$

Wtedy:

$a=2b=2\cdot 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}\left[\text{cm}\right]$

Obliczmy pole tego trójkąta:

$P=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}=4\cdot 5=20\left[{\text{cm}}^2\right]$

Zatem otrzymaliśmy, że pole tego trójkąta wynosi $20{\text{cm}}^2$.

---

b)

Oznaczmy przyprostokątne opisanego trójkąta przez $a$ oraz $b$, a jego przeciwprostokątną przez $c$.

Trójkąt prostokątny wpisany w okrąg ma przeciwprostokątną równą dwóm długościom promienia okręgu. Stąd:

$c=10\text{cm}$

Z treści zadania wiemy, że:

$a=b+2$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy wtedy:

$a^2+b^2=c^2$

${\left(b+2\right)}^2+b^2=10^2$

$b^2+2b+4+b^2=100|-100$

$2b^2+4b-96=0|:2$

$b^2+2b-48=0$

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-48\right)=4+192=196$

$\sqrt{\Delta }=14$

$b_1=\frac{-2-14}{2}<0$

$b_2=\frac{-2+14}{2}=\frac{12}{2}=6>0$

Skoro $b>0$, to

$b=6\left[\text{cm}\right]$

Wtedy:

$a=b+2=6+2=8\left[\text{cm}\right]$

Obliczmy pole tego trójkąta:

$P=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24\left[{\text{cm}}^2\right]$

Zatem otrzymaliśmy, że pole tego trójkąta wynosi $24{\text{cm}}^2$.