Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz...- Zadanie 5: NOWA MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Rozważmy trójkąt $K L M$ .

Skoro półprosta $d_{A}$ jest dwusieczną kąta $B A C$ , a punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem $d_{A}$ , to $d_{A}$ jest symetralną boku $K L$ .

Skoro półprosta $d_{C}$ jest dwusieczną kąta $BC A$ , a punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem $d_{C}$ , to $d_{C}$ jest symetralną boku $M L$ .

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Zatem punkt wspólny dwusiecznych $d_{A}$ i $d_{C}$ , czyli jednocześnie symetralnych, istnieje i jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $K L M$ . Jeżeli środek tego okręgu oznaczmy przez $S_{1}$ , to odcinek $S_{2} L$ jest promieniem tego okręgu. Zwróćmy uwagę, że punkty $K$ , $L$ , $M$ leżą na tym okręgu.

Rozważmy następnie trójkąt $L M N$ .

Skoro półprosta $d_{B}$ jest dwusieczną kąta $A BC$ , a punkt $N$ jest obrazem punktu $M$ w symetrii osiowej względem $d_{B}$ , to $d_{B}$ jest symetralną boku $MN$ .

Skoro półprosta $d_{C}$ jest dwusieczną kąta $BC A$ , a punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem $d_{C}$ , to $d_{C}$ jest symetralną boku $M L$ .

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Zatem punkt wspólny dwusiecznych $d_{B}$ i $d_{C}$ , czyli jednocześnie symetralnych, istnieje i jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $L M N$ . Jeżeli środek tego okręgu oznaczmy przez $S_{2}$ , to odcinek $S_{2} L$ jest promieniem tego okręgu. Zwróćmy uwagę, że punkty $L$ , $M$ , $N$ leżą na tym okręgu.

Zauważmy, że punkt $S_{1}$ jest tym samym punktem co $S_{2}$ , ponieważ dwusieczne kątów trójkąta $A BC$ przecinają się w dokładnie jednym punkcie. Oba te punkty to środki okręgów opisanych na trójkącie $K L M$ , a istnieje tylko jeden taki okrąg. Ponadto $∣ S_{1} L ∣ = ∣ S_{2} L ∣$ . Zwróćmy uwagę, że w takim razie punkty $K$ , $L$ , $M$ , $N$ leżą na tym okręgu. Pokazaliśmy, że wszystkie wierzchołki czworokąta $K L MN$ leżą na jednym okręgu, a więc na tym czworokącie można opisać okrąg, co należało udowodnić.