a)

Rozwiązujemy nierówność:

$-x^2+2\sqrt{2}x-\frac{7}{4}\le 0$

Wyznaczmy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

$-x^2+2\sqrt{2}x-\frac{7}{4}=0$

$\Delta ={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-\frac{7}{4}\right)=$

$=4\cdot 2-7=8-7=1$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$

$x_1=\frac{-2\sqrt{2}-1}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-2\sqrt{2}-1}{-2}=\frac{2\sqrt{2}+1}{2}$

$x_2=\frac{-2\sqrt{2}+1}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-2\sqrt{2}+1}{-2}=\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ,x_2\right]\cup \left[x_1,+\infty \right)$

$x\in \left(-\infty ,\frac{2\sqrt{2}-1}{2}\right]\cup \left[\frac{2\sqrt{2}+1}{2},+\infty \right)$

---

b)

Rozwiązujemy nierówność:

$\sqrt{2}{x}^2+3x+\sqrt{2}>0$

Wyznaczmy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

$\sqrt{2}{x}^2+3x+\sqrt{2}=0$

$\Delta =3^2-4\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=9-4\cdot 2=$

$=9-8=1$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$

$x_1=\frac{-3-1}{2\cdot \sqrt{2}}=\frac{-4}{2\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-3+1}{2\cdot \sqrt{2}}=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ,x_1\right)\cup \left(x_2,+\infty \right)$

$x\in \left(-\infty ,-\sqrt{2}\right)\cup \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty \right)$

---

c)

Rozwiązujemy nierówność:

$\frac{3}{2}{x}^2-6x+6\le 0$

Wyznaczmy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

$\frac{3}{2}{x}^2-6x+6=0$

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot \frac{3}{2}\cdot 6=36-36=0$

$x_0=\frac{-\left(-6\right)}{2\cdot \frac{3}{2}}=\frac{6}{3}=2$

Zaznaczamy miejsce zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x=x_0$

$x=2$

---

d)

Rozwiązujemy nierówność:

$\sqrt{3}{x}^2-5x+2\sqrt{3}>0$

Wyznaczmy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

$\sqrt{3}{x}^2-5x+2\sqrt{3}=0$

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=$

$=25-8\cdot 3=25-24=1$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$

$x_1=\frac{-\left(-5\right)-1}{2\cdot \sqrt{3}}=\frac{5-1}{2\sqrt{3}}=$

$=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$x_2=\frac{-\left(-5\right)+1}{2\cdot \sqrt{3}}=\frac{5+1}{2\sqrt{3}}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=$

$=\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ,x_1\right)\cup \left(x_2,+\infty \right)$

$x\in \left(-\infty ,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)\cup \left(\sqrt{3},+\infty \right)$

---

e)

Rozwiązujemy nierówność:

$-2\sqrt{5}{x}^2+7x-\sqrt{5}>0$

Wyznaczmy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

$-2\sqrt{5}{x}^2+7x-\sqrt{5}=0$

$\Delta =7^2-4\cdot \left(-2\sqrt{5}\right)\cdot \left(-\sqrt{5}\right)=$

$=49-8\cdot 5=49-40=9$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$

$x_1=\frac{-7-3}{2\cdot \left(-2\sqrt{5}\right)}=\frac{-10}{-4\sqrt{5}}=$

$=\frac{10\sqrt{5}}{4\cdot 5}=\frac{10\sqrt{5}}{20}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

$x_2=\frac{-7+3}{2\cdot \left(-2\sqrt{5}\right)}=\frac{-4}{-4\sqrt{5}}=$

$=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(x_1,x_2\right)$

$x\in \left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$

---

f)

Rozwiązujemy nierówność:

$\frac{1}{3}{x}^2-x+\frac{1}{2}\le 0$

Wyznaczmy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

$\frac{1}{3}{x}^2-x+\frac{1}{2}=0$

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$x_1=\frac{-\left(-1\right)-\frac{\sqrt{3}}{3}}{2\cdot \frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{\frac{3}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=$

$=\frac{3-\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$

$x_2=\frac{-\left(-1\right)+\frac{\sqrt{3}}{3}}{2\cdot \frac{1}{3}}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{\frac{3}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=$

$=\frac{3+\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ,x_1\right)\cup \left(x_2,+\infty \right)$

$x\in \left(-\infty ,\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt{3}}{2},+\infty \right)$

---

g)

Rozwiązujemy nierówność:

$-2x^2-2\sqrt{6}x-3\le 0$

Wyznaczmy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

$\Delta ={\left(-2\sqrt{6}\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-3\right)=$

$=4\cdot 6-24=24-24=0$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{0}=0$

$x_0=\frac{-\left(-2\sqrt{6}\right)}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{2\sqrt{6}}{-4}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$

Zaznaczamy miejsce zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \mathbb{R}$

---

h)

Rozwiązujemy nierówność:

$\left(\sqrt{3}-2\right)x^2-\sqrt{3}x-2-\sqrt{3}>0$

Wyznaczmy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

$\left(\sqrt{3}-2\right)x^2-\sqrt{3}x-2-\sqrt{3}=0$

$\Delta ={\left(-\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot \left(\sqrt{3}-2\right)\cdot \left(-2-\sqrt{3}\right)=$

$=3-4\left(\sqrt{3}-2\right)\cdot \left(-\left(\sqrt{3}+2\right)\right)=$

$=3+4\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)=$

$=3+4\left({\sqrt{3}}^2-2^2\right)=3+4\left(3-4\right)=$

$=3+4\cdot \left(-1\right)=3-4=-1<0$

Brak miejsc zerowych. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \mathbb{R}$