a)

Rozwiązujemy nierówność:

${\left(x-1\right)}^2>0$

$\left|x-1\right|>0$

Zauważmy, że wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna, zatem powyższa nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą z wyłączeniem $1.$

$x\in \mathbb{R}\backslash \{1\}$

---

b)

Rozwiązujemy nierówność:

$x^2-8x+16\le 0$

$x^2-2\cdot x\cdot 4+4^2\le 0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy

${\left(x-4\right)}^2\le 0$

Zauważmy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem powyższa nierówność jest spełniona jedynie dla

$x-4=0$

$x=4$

---

c)

Rozwiązujemy nierówność:

$9x^2-36x+36<0|:9$

$x^2-4x+4<0$

$x^2-2\cdot x\cdot 2+2^2<0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy

${\left(x-2\right)}^2<0$

Zauważmy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem powyższa nierówność jest sprzeczna. Nierówność nie ma rozwiązań.

---

d)

Rozwiązujemy nierówność:

$2x^2+3x+1\frac{1}{8}\ge 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

$2x^2+3x+1\frac{1}{8}=0$

$\Delta =3^2-4\cdot 3\cdot 1\frac{1}{8}=9-12\cdot \frac{9}{8}=$

$=9-3\cdot \frac{9}{2}=\frac{18}{2}-\frac{27}{2}=-\frac{9}{2}<0$

Brak miejsc zerowych. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \mathbb{R}$