a)

Rozwiązujemy nierówność:

$\left(1-2x\right)\left(2x-4\right)\ge 0$

$\left(-2x+1\right)\cdot 2\left(x-2\right)\ge 0$

$-2\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot 2\left(x-2\right)\ge 0|:\left(-4\right)$

$\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\le 0$

Z powyższej postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe:

$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left[\frac{1}{2},2\right]$

Całkowite rozwiązania tej nierówności to $1,2.$ Wyznaczmy sumę tych rozwiązań.

$1+2=3$

Odp. Suma całkowitych rozwiązań tej nierówności wynosi $3.$

---

b)

Rozwiązujemy nierówność:

$4x^2-16\sqrt{3}x-1\le 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

$4x^2-16\sqrt{3}x-1=0$

$\Delta ={\left(-16\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot 4\cdot \left(-1\right)=$

$=256\cdot 3+16=768+16=784$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{784}=28$

$x_1=\frac{-\left(-16\sqrt{3}\right)-28}{2\cdot 4}=\frac{16\sqrt{3}-28}{8}=$

$=\frac{4\left(4\sqrt{3}-7\right)}{8}=\frac{4\sqrt{3}-7}{2}$

$x_2=\frac{-\left(-16\sqrt{3}\right)+28}{2\cdot 4}=\frac{16\sqrt{3}+28}{8}=$

$=\frac{4\left(4\sqrt{3}+7\right)}{8}=\frac{4\sqrt{3}+7}{2}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left[\frac{4\sqrt{3}-7}{2},\frac{4\sqrt{3}+7}{2}\right]$

Zauważmy, że:

$\frac{4\sqrt{3}-7}{2}\approx \frac{4\cdot 1,73-7}{2}\approx \frac{-0,08}{2}\approx -0,04$

$\frac{4\sqrt{3}+7}{2}\approx \frac{4\cdot 1,73+7}{2}\approx \frac{13,92}{2}\approx 6,96$

Całkowite rozwiązania tej nierówności to $0,1,2,3,4,5,6.$ Wyznaczmy sumę tych rozwiązań.

$0+1+2+3+4+5+6=21$

Odp. Suma całkowitych rozwiązań tej nierówności wynosi $21.$

---

c)

Rozwiązujemy nierówność:

$-2x^2-x+3\ge 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

$-2x^2-x+3=0$

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 3=1+24=25$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

$x_1=\frac{-\left(-1\right)-5}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{1-5}{-4}=\frac{-4}{-4}=1$

$x_2=\frac{-\left(-1\right)+5}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{1+5}{-4}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}=-1\frac{1}{2}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left[-1\frac{1}{2},1\right]$

Całkowite rozwiązania tej nierówności to $-1,0,1.$ Wyznaczmy sumę tych rozwiązań.

$-1+0+1=0$

Odp. Suma całkowitych rozwiązań tej nierówności wynosi $0.$

---

d)

Rozwiązujemy nierówność:

$2x+4-{\left(\frac{x+2}{2}\right)}^2>0$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

$2x+4-\frac{x^2+4x+4}{4}>0|\cdot 4$

$8x+16-\left(x^2+4x+4\right)>0$

$8x+16-x^2-4x-4>0$

$-x^2+4x+12>0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

$-x^2+4x+12=0$

$\Delta =4^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 12=16+48=64$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{64}=8$

$x_1=\frac{-4-8}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-12}{-2}=6$

$x_2=\frac{-4+8}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{4}{-2}=-2$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-2,6\right)$

Całkowite rozwiązania tej nierówności to $-1,0,1,2,3,4,5.$ Wyznaczmy sumę tych rozwiązań.

$-1+0+1+2+3+4+5=$

$=2+3+4+5=14$

Odp. Suma całkowitych rozwiązań tej nierówności wynosi $14.$