Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\sqrt{4x^2-1}$

Wiemy, że dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens liczbowy. We wzorze funkcji $f$ znajduje się pierwiastek drugiego stopnia. Pamiętamy, że wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi mieć wartość nieujemną. Możemy zapisać to za pomocą nierówności

$4x^2-1\ge 0$

Wobec tego, aby podać dziedzinę funkcji $f,$ należy rozwiązać podaną wyżej nierówność.

Rozwiązujemy nierówność:

$4x^2-1\ge 0$

${\left(2x\right)}^2-1^2\ge 0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów możemy zapisać

$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\ge 0$

$2\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot 2\left(x+\frac{1}{2}\right)\ge 0$

$4\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\ge 0$

Z powyższej postaci odczytujemy miejsca zerowe.

$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]\cup \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$

Wnioskujemy, że dziedziną funkcji $f$ jest zbiór

 $x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]\cup \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$

Odp. D