Rozwiążmy nierówność:

$-\frac{1}{2}{x}^2-2x+10\ge 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

$-\frac{1}{2}{x}^2-2x+10=0$

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 10=4+20=24_{}$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}$

Skoro $\Delta >0,$ to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-\left(-2\right)-2\sqrt{6}}{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2-2\sqrt{6}}{-1}=-2+2\sqrt{6}$

$x_2=\frac{-\left(-2\right)+2\sqrt{6}}{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2+2\sqrt{6}}{-1}=-2-2\sqrt{6}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX,$ Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, zatem szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in \left[-2-2\sqrt{6},-2+2\sqrt{6}\right]$

Możemy zapisać, że:

$-2-2\sqrt{6}\approx -2-2\cdot 2,4=-2-4,8=-6,8$

$-2+\sqrt{6}\approx -2+2\cdot 2,4=-2+4,8=2,8$

Wnioskujemy, że liczby całkowite, które spełniają nierówność to

$-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2$

Zatem jest $9$ takich liczb.

Odp. D