Dane jest równanie kwadratowe

$x^2-2x+m^2+4m+1=0$

---

Wyznaczamy dziedzinę funkcji $f.$

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy $\Delta >0,$ zatem rozwiązujemy nierówność

${\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(m^2+4m+1\right)>0$

$4-4\left(m^2+4m+1\right)>0|:4$

$1-\left(m^2+4m+1\right)>0$

$1-m^2-4m-1>0$

$-m^2-4m>0|\cdot \left(-1\right)$

$m^2+4m<0$

$m\left(m+4\right)<0$

Pierwiastkami trójmianu kwadratowego znajdującego się po lewej stronie nierówności są

$\begin{array}{ccc}m=0& \text{lub}& m=-4\end{array}$

Wobec tego szkicujemy pomocniczo parabolę. Zaznaczamy na osi $OX$ pierwiastki trójmianu. W spółczynnik przy $m^2$ jest dodatni, zatem ramiona paraboli są skierowane w górę.

zatem

$m\in \left(-4,0\right)$

Wnioskujemy, że dziedziną funkcji $f$ jest przedział $\left(-4,0\right).$

---

Jeżeli $x_1$ oraz $x_2$ są różnymi pierwiastkami powyższego równania, to wartość ich iloczynu możemy zapisać z wykorzystaniem wzoru Viete'a.

$x_1\cdot x_2=\frac{m^2+4m+1}{1}=$

$=m^2+4m+1$

Zatem zapisujemy wzór funkcji $y=f\left(m\right).$

$f\left(m\right)=m^2+4m+1,D=\left(-4,0\right)$

---

Iloczyn pierwiastków równania jest najmniejszy, gdy funkcja $y=f\left(m\right)$ przyjmuje najmniejszą wartość. Funkcja $f$ jest funkcją kwadratową, zatem jej wykresem jest parabola. Widzimy, że współczynnik przy $m^2$ jest dodatni, zatem ramiona paraboli są skierowane w górę. Wobec tego funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli (jeśli pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do dziedziny funkcji).

Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$m_w=\frac{-4}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-4}{2}=-2$

Zauważamy, że $m_w=-2\in D.$

Wnioskujemy, że funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą, gdy $m=-2.$

---

Iloczyn pierwiastków równania $x^2-2x+m^2+4m+1=0$ jest najmniejszy, gdy $m=-2.$ Wtedy równanie przyjmuje postać

$x^2-2x+{\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+1=0$

$x^2-2x+4-8+1=0$

$x^2-2x-3=0$

Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=$

$=4+12=16$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{16}=4$

Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego.

$x_1=\frac{-\left(-2\right)-4}{2\cdot 1}=$

$=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=$

$=-1$

$x_2=\frac{-\left(-2\right)+4}{2\cdot 1}=$

$=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=$

$=3$

---

Podsumowując: 

1. Dziedzina funkcji $f:$ $D=\left(-4,0\right).$

2. Pierwiastki równania spełniające warunki zadania: $x\in \{-1,3\}.$