a)

Dane jest równanie kwadratowe

$x^2-6x+2m=0$

Równanie kwadratowe ma co najmniej jeden pierwiastek, gdy $\Delta ⩾0.$ Wobec tego rozwiązujemy poniższe równanie

${\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2m⩾0$

$36-8m⩾0|-36$

$-8m⩾-36|:\left(-8\right)$

$m⩽\frac{36}{8}$

$m⩽\frac{9}{2}$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{m\in \left(-\infty ,\frac{9}{2}\right]}}$

---

b)

Dane jest równanie kwadratowe

$\frac{1}{2}{x}^2-\left(m-2\right)x+m-2=0$

Równanie kwadratowe ma co najmniej jeden pierwiastek, gdy $\Delta ⩾0.$ Wobec tego rozwiązujemy poniższe równanie

${\left(-\left(m-2\right)\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(m-2\right)⩾0$

${\left(m-2\right)}^2-2\left(m-2\right)⩾0$

$\left(m-2\right)\left(\left(m-2\right)-2\right)⩾0$

$\left(m-2\right)\left(m-4\right)⩾0$

Rozwiązujemy pomocniczo równanie

$\left(m-2\right)\left(m-4\right)=0$

$\begin{array}{lll}m-2=0& \text{lub}& m-4=0\\ m=2& & m=4\end{array}$

Zaznaczmy otrzymane miejsca zerowy na osi $OX.$ Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, zatem szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{m\in \left(-\infty ,2\right]\cup \left[4,\infty \right)}}$

---

c)

Dane jest równanie 

$m{x}^2-4x+1=0$

Powyższe równanie będzie równanie liniowym, gdy $m=0,$ natomiast gdy $m\ne 0,$ to powyższe równanie będzie równanie kwadratowym. Wobec tego rozważamy oba przypadki.

Przypadek I

Równanie z treści zadania jest równanie liniowym, gdy $m=0.$ Przyjmuje ono postać

$0x^2-4x+1=0$

a zatem

$-4x+1=0$

Zauważmy, że powyższe równanie ma rozwiązanie $x=\frac{1}{4},$ zatem dla $m=0$ spełnione są warunki zadania.

Przypadek II

Równanie z treści zadania jest równaniem kwadratowym, gdy $m\ne 0.$ Przyjmuje ono postać

$m{x}^2-4x+1=0$

Wiemy, że równanie kwadratowe ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy $\Delta ⩾0,$ zatem rozwiązujemy nierówność

${\left(-4\right)}^2-4\cdot m\cdot 1⩾0$

$16-4m⩾0|:4$

$4-m⩾0|-4$

$-m⩾-4|\cdot \left(-1\right)$

$m⩽4$

zatem $m\in \left(-\infty ,4\right].$ 

Z założenia wiemy, że $m\ne 0,$ wobec tego $m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,4\right].$

Zatem równanie z treści zadania ma co najmniej jeden pierwiastek, gdy 

$\begin{array}{ccc}m=0& \text{lub}& m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,4\right]\end{array}$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{m\in \left(-\infty ,4\right]}}$

---

d)

Dane jest równanie

$\left(1-m\right)x^2-\left(4m-4\right)x-3m+5=0$

Powyższe równanie będzie równanie liniowym, gdy $1-m=0,$ natomiast gdy $1-m\ne 0,$ to powyższe równanie będzie równanie kwadratowym. Wobec tego rozważamy oba przypadki.

Przypadek I

Równanie z treści zadania jest równanie liniowym, gdy $1-m=0,$ a zatem, gdy $m=1.$ Przyjmuje ono postać

$0x^2-\left(4\cdot 0-4\right)x-3\cdot 0+5=0$

a zatem

$5=0$

Zauważmy, że powyższe równanie nie ma rozwiązania, zatem dla $m=1$ nie są spełnione warunki zadania.

Przypadek II

Równanie z treści zadania jest równaniem kwadratowym, gdy $1-m\ne 0,$ a zatem, gdy $m\ne 1.$ Przyjmuje ono postać

$\left(1-m\right)x^2-\left(4m-4\right)x-3m+5=0$

Wiemy, że równanie kwadratowe ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy $\Delta ⩾0,$ zatem rozwiązujemy nierówność

${\left(-\left(4m-4\right)\right)}^2-4\cdot \left(1-m\right)\cdot \left(-3m+5\right)⩾0$

${\left(4m-4\right)}^2-4\left(-3m+5+3m^2-5m\right)⩾0$

$16m^2-32m+16+12m-20-12m^2+20m⩾0$

$4m^2-4⩾0|:4$

$m^2-1⩾0|+1$

$m^2⩾1|\sqrt{}$

$|m|⩾1$

$\begin{array}{ccc}m⩾1& \text{lub}& m⩽-1\end{array}$

zatem $m\in \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,\infty \right).$ 

Z założenia wiemy, że $m\ne 1,$ wobec tego $m\in \left(-\infty ,-1\right]\cup \left(1,\infty \right).$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{m\in \left(-\infty ,-1\right]\cup \left(1,\infty \right)}}$