Dla jakich wartości parametru a suma...- Zadanie 13: NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Dane jest równanie kwadratowe

$- x^{2} - 2 x + a^{2} + a + 1 = 0$

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy $Δ > 0 .$ Wobec tego rozwiązujemy nierówność

$(- 2)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (a^{2} + a + 1) > 0$

$4 + 4 (a^{2} + a + 1) > 0 ∣ : 4$

$1 + a^{2} + a + 1 > 0$

$a^{2} + a + 2 > 0$

Pomocniczo wyznaczamy pierwiastki równania

$a^{2} + a + 2 = 0$

Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$Δ_{a} = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 =$

$= 1 - 8 = - 7$

Skoro $Δ_{a} < 0,$ to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków. Zauważmy, że współczynnik przy $a^{2}$ jest dodatni, zatem ramiona paraboli są skierowane w górę. Jeżeli równanie nie ma pierwiastków, to znaczy, że cały wykres funkcji kwadratowego znajduje się nad osią $OX,$ a co za tym idzie - funkcja przyjmuje dla każdego $a \in R$ wartości dodatnie. Zatem nierówność $Δ > 0$ jest spełniona dla każdego $a \in R .$

Z treści zadania wiemy, że suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków $x_{1}$ oraz $x_{2}$ ma przyjmować wartość największą. Wobec tego, badamy dla jakich wartości parametru $a$ suma $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ przyjmuje wartość największą.

Najpierw przekształcamy podaną sumę do takiej postaci, a byśmy mogli skorzystać ze wzorów Viete'a. Doprowadzając ułamki do wspólnego mianownika, dostajemy

$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{2}}{x _{1} x _{2}} + \frac{x _{1}}{x _{1} x _{2}} =$

$= \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}$

Teraz możemy zastosować wzory Viete'a i otrzymamy wyrażenie postaci

$\frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{\frac{- ( - 2 )}{- 1}}{\frac{a ^{2} + a + 1}{- 1}} =$

$= \frac{- 2}{- ( a ^{2} + a + 1 )} =$

$= \frac{2}{a ^{2} + a + 1}$

Sprawdzamy, dla jakich wartości parametru $a$ ułamek $\frac{2}{a ^{2} + a + 1}$ przyjmuje wartość największą.

Widzimy, że licznik ułamka przyjmuje stałą wartość równą $2,$ więc cały ułamek przyjmuje wartość największą, gdy jego mianownik: $a^{2} + a + 1$ przyjmuje wartość najmniejszą.

Niech

$f (a) = a^{2} + a + 1$

Wyrażenie w mianowniku ułamka jest funkcją kwadratową zmiennej $a .$ Zauważmy, że współczynnik przy $a^{2}$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę i funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli. Zatem wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka wykresu funkcji $f$ korzystając ze wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$a_{w} = \frac{- 1}{2 \cdot 1} = - \frac{1}{2}$

Wnioskujemy, że funkcja kwadratowa $f$ osiąga wartość najmniejszą dla $a = - \frac{1}{2} .$ Wobec tego ułamek $\frac{2}{a ^{2} + a + 1}$ przyjmuje wartość największą, gdy $a = - \frac{1}{2} .$