a)

Niech $a$ będzie długością boku trójkąta równobocznego, $h$ jego wysokością, natomiast $r=2$ niech będzie promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Jeżeli okrąg jest wpisany w trójkąt równoboczny, to zachodzi równość

$r=\frac{1}{3}h$

Korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym dostajemy

$r=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=$

$=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Wobec tego

$2=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

$a\sqrt{3}=12$

$a=\frac{12}{\sqrt{3}}$

$a=\frac{12\sqrt{3}}{3}$

$a=4\sqrt{3}$

Obliczamy pole trójkąta równobocznego o boku długości $a.$

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=$

$=\frac{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=$

$=\frac{16\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{4}=$

$=12\sqrt{3}$

---

b)

Niech $a$ będzie długością boku trójkąta równobocznego, $h$ jego wysokością, $r$ promieniem koła wpisanego w ten trójkąt, natomiast $R$ promieniem koła opisanego na tym trójkącie równobocznym.

Jeżeli okrąg jest wpisany w trójkąt równoboczny, to zachodzi równość

$r=\frac{1}{3}h$

Jeżeli okrąg jest opisany na trójkącie równobocznym, to zachodzi równość

$R=\frac{2}{3}h$

Korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym możemy zapisać, że

$r=\frac{1}{3}h$

$r=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

natomiast

$R=\frac{2}{3}h$

$R=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ 

Obliczamy stosunek pola koła opisanego na trójkącie równobocznym do pola koła wpisanego w ten trójkąt.

$\frac{\pi R^2}{\pi r^2}=\frac{R^2}{r^2}=\frac{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2}=$

$=\frac{\frac{3}{9}{a}^2}{\frac{3}{36}{a}^2}=\frac{3}{9}\cdot \frac{36}{3}=$

$=\frac{36}{9}=4$