a)

Niech $a=12$ oraz $b=16$ będą przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego.

Obliczamy pole trójkąta. 

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=$

$=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 16=$

$=6\cdot 16=96$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej $c.$

$12^2+16^2=c^2$

$144+256=c^2$

$400=c^2|\sqrt{},c>0$  

$c=20$

Obliczamy promień okręgu wpisanego w dany trójkąt prostokątny korzystając z poniższego wzoru.

$r=\frac{2P}{a+b+c}$

$r=\frac{2\cdot 96}{12+16+20}=$

$=\frac{192}{48}=4$

---

b)

Niech $a=1$ oraz $b=1$ będą przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego.

Obliczamy pole trójkąta.

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=$

$=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej $c.$

$1^2+1^2=c^2$

$1+1=c^2$

$2=c^2|\sqrt{},c>0$

$c=\sqrt{2}$

Obliczamy promień okręgu wpisanego w dany trójkąt prostokątny korzystając z poniższego wzoru.

$r=\frac{2P}{a+b+c}$

$r=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1+1+\sqrt{2}}=$

$=\frac{1}{2+\sqrt{2}}\cdot \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=$

$=\frac{2-\sqrt{2}}{4-2}=$

$=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

---

c)

Niech $a=10$ oraz $b=24$ będą przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego.

Obliczamy pole trójkąta.

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=$

$=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=$

$=5\cdot 24=120$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej $c.$

$10^2+24^2=c^2$

$100+576=c^2$

$676=c^2|\sqrt{},c>0$

$c=26$  

Obliczamy promień okręgu wpisanego w dany trójkąt prostokątny korzystając z poniższego wzoru.

$r=\frac{2P}{a+b+c}$

$r=\frac{2\cdot 120}{10+24+26}=$

$=\frac{240}{60}=4$

---

d)

Niech $a=2$ oraz $b=\sqrt{5}$ będą przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego.

Obliczamy pole trójkąta.

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=$

$=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{5}=$

$=\sqrt{5}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej $c.$

$2^2+{\sqrt{5}}^2=c^2$

$4+5=c^2$ 

$9=c^2|\sqrt{},c>0$

$c=3$

Obliczamy promień okręgu wpisanego w dany trójkąt prostokątny korzystając z poniższego wzoru.

$r=\frac{2P}{a+b+c}$

$r=\frac{2\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}+3}=$

$=\frac{2\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}\cdot \frac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}=$

$=\frac{10\sqrt{5}-2\cdot 5}{25-5}=$

$=\frac{10\left(\sqrt{5}-1\right)}{20}=$

$=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$