Skoro promień okręgu ma długość $R=4\sqrt{3},$ to

$\left|OB\right|=4\sqrt{3}$

Trójkąt $ABC$ jest trójkątem równobocznym, wobec tego promień okręgu opisanego na tym trójkącie stanowi $\frac{2}{3}$ jego wysokości $h.$ Z tego dostajemy, że

$\frac{2}{3}h=4\sqrt{3}|\cdot \frac{3}{2}$

$h=6\sqrt{3}$

Korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym, mamy

$\frac{\left|AB\right|\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}|:\sqrt{3}$

$\frac{\left|AB\right|}{2}=6|\cdot 2$

$\left|AB\right|=12$

Obliczamy pole trójkąta $ABC.$

$P_1=\frac{{\left|AB\right|}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=$

$=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}$

Zauważmy, że wysokość trójkąta $ACD$ opuszczona na bok $AC$ ma długość

$h_{AC}=r-\frac{1}{3}h=$

$=4\sqrt{3}-\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{2}=$

$=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=$

$=2\sqrt{3}$

Obliczamy pole trójkąta $ACD.$

$P_2=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot h_{AC}=$

$=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}=$

$=12\sqrt{3}$

Obliczamy pole czworokąta $ABCD.$

$P=P_1+P_2=$

$=36\sqrt{3}+12\sqrt{3}=$

$=\underline{\underline{48\sqrt{3}}}$