a)

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Dorysowujemy kąt środkowy $AOB$ oparty na tym samym łuku co kąt $ACB.$    
Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ma miarę dwa razy większą od tego kąta wpisanego, zatem

$\left|\sphericalangle AOB\right|=2\cdot 45^{\circ }=$

$=90^{\circ }$

Trójkąt $AOB$ jest trójkątem równoramiennym i prostokątnym. Jego ramiona pokrywają się z promieniami okręgu, dlatego długość promienia okręgu możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $AOB.$

$r^2+r^2=4^2$

$2r^2=16|:2$

$r^2=8|\sqrt{},r>0$

$r=\sqrt{8}$

$r=\sqrt{4\cdot 2}$

$r=\underline{\underline{2\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]}}$ 

---

---

b)

Rozważmy dwa przypadki.

Przypadek I

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Obliczmy $x$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BOD.$

$x^2+3^2=5^2$

$x^2+9=25|-9$

$x^2=16|\sqrt{},x>0$

$x=4\left[\text{cm}\right]$

zatem

$\left|CD\right|=4+5=9$

Obliczamy długość ramienia trójkąta $ABC$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $DBC.$

$3^2+9^2={\left|BC\right|}^2$

$9+81={\left|BC\right|}^2$

$90={\left|BC\right|}^2|\sqrt{},\left|BC\right|>0$

$\left|BC\right|=\sqrt{90}$

$\left|BC\right|=\sqrt{9\cdot 10}$

$\left|BC\right|=3\sqrt{10}\left[\text{cm}\right]$  

Wnioskujemy, że

$\left|AC\right|=\left|BC\right|=\underline{\underline{3\sqrt{10}\text{cm}}}$

---

Przypadek II

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Obliczmy $c$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BOD.$

$c^2+3^2=5^2$

$c^2+9=25|-9$

$c^2=16|\sqrt{},c>0$

$c=4\left[\text{cm}\right]$

zatem

$x=r-x=$

$=5-4=1\left[\text{cm}\right]$

Obliczamy długość ramienia trójkąta $ABC$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

$x^2+3^2={\left|BC\right|}^2$

$1^2+3^2={\left|BC\right|}^2$

$1+9={\left|BC\right|}^2$

$10={\left|BC\right|}^2|\sqrt{},\left|BC\right|>0$

$\left|BC\right|=\sqrt{10}\left[\text{cm}\right]$

Wnioskujemy, że

$\left|AC\right|=\left|BC\right|=\underline{\underline{\sqrt{10}\text{cm}}}$