a)

$\frac{3}{x-2}+\frac{x+1}{x+2}-\frac{x^2+4}{x^2-4}$

Określamy dziedzinę podanego wyrażenia. 

$\begin{array}{lllll}x-2\ne 0& \text{i}& x+2\ne 0& \text{i}& x^2-4\ne 0\\ x\ne 2& & x\ne -2& & \begin{array}{ccc}x\ne 2& \text{i}& x\ne -2\end{array}\end{array}$

zatem

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-2,2\right\}$

Wykonujemy podane działanie. Doprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$\frac{3}{x-2}+\frac{x+1}{x+2}-\frac{x^2+4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=$

$=\frac{3\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x^2+4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=$

$=\frac{3x+6+x^2-2x+x-2-x^2-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=$

$=\frac{2x}{x^2-4}$

---

b)

$\frac{4}{x^2+6x}-\frac{1-x}{2x}+\frac{x-1}{x+6}$

Określamy dziedzinę podanego wyrażenia. 

$\begin{array}{lllll}{x}^2+6x\ne 0& \text{i}& 2x\ne 0& \text{i}& x+6\ne 0\\ x(x+6)\ne 0& & x\ne 0& & x\ne -6\\ \begin{array}{ccc}x\ne 0& \text{i}& x\ne -6\end{array}& & & & \end{array}$

zatem

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-6,0\right\}$

Wykonujemy podane działanie. Doprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$\frac{4}{x\left(x+6\right)}-\frac{1-x}{2x}+\frac{x-1}{x+6}=$

$=\frac{4\cdot 2}{2x\left(x+6\right)}-\frac{\left(1-x\right)\left(x+6\right)}{2x\left(x+6\right)}+\frac{2x\left(x-1\right)}{2x\left(x+6\right)}=$

$=\frac{8-x-6+x^2+6x+2x^2-2x}{2x\left(x+6\right)}=$

$=\frac{3x^2+3x+2}{2x\left(x+6\right)}$

---

c)

$\frac{x^2}{4x^2-9}+\frac{2-x}{2x-3}-\frac{6}{3-2x}$

Określamy dziedzinę podanego wyrażenia. 

$\begin{array}{lllll}4x^2-9\ne 0& \text{i}& 2x-3\ne 0& \text{i}& 3-2x\ne 0\\ (2x-3)(2x+3)\ne 0& & x\ne \frac{3}{2}& \text{i}& x\ne \frac{3}{2}\\ \begin{array}{ccc}x\ne \frac{3}{2}& \text{i}& x\ne -\frac{3}{2}\end{array}& & & & \end{array}$

zatem

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right\}$

Wykonujemy podane działanie. Doprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$\frac{x^2}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}+\frac{2-x}{2x-3}-\frac{6}{-\left(2x-3\right)}=$

$=\frac{x^2}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}+\frac{\left(2-x\right)\left(2x+3\right)}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}+\frac{6\left(2x+3\right)}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}=$

$=\frac{x^2+4x+6-2x^2-3x+12x+18}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}=$

$=\frac{-x^2+13x+24}{4x^2-9}$

---

d)

$\frac{2x^2-7}{9x^2-6x+1}-\frac{2-3x^2}{3x-1}-x$

Określamy dziedzinę podanego wyrażenia. 

$\begin{array}{lll}9x^2-6x+1\ne 0& \text{i}& 3x-1\ne 0\\ (3x-1{)}^2\ne 0& & x\ne \frac{1}{3}\\ x\ne \frac{1}{3}& & \end{array}$

zatem

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{1}{3}\right\}$

Wykonujemy podane działanie. Doprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$\frac{2x^2-7}{{\left(3x-1\right)}^2}-\frac{2-3x^2}{3x-1}-\frac{x}{1}=$

$=\frac{2x^2-7}{{\left(3x-1\right)}^2}-\frac{\left(2-3x^2\right)\left(3x-1\right)}{{\left(3x-1\right)}^2}-\frac{x{\left(3x-1\right)}^2}{{\left(3x-1\right)}^2}=$

$=\frac{2x^2-7-6x+2+9x^3-3x^2-x\left(9x^2-6x+1\right)}{{\left(3x-1\right)}^2}=$

$=\frac{9x^3-x^2-6x-5-9x^3+6x^2-x}{{\left(3x-1\right)}^2}=$

$=\frac{5x^2-7x-5}{{\left(3x-1\right)}^2}$